trigonometria

Trigonometría

Radianes
Los grados sexagesimales, que son los más frecuentes, se utilizan para dividir a la circunferencia en
360 partes iguales. Si colocamos el eje de coordenadas en la circunferencia tendremos que éste
coincide con el 90, 180, 270 y 360 grados.
Otra de las medidas de ángulos más utilizada en trigonometría es el radián.
El radián se define como el ángulo que limita unarco cuya longitud es igual al radio del arco.
Por tanto, el ángulo, α, completo en radianes de una circunferencia de radio, r, sería:

Su símbolo es rad.

La equivalencia entre grados y radianes la podemos observar en la circunferencia, y calcular para
cualquier ángulo:

Despejamos y obtenemos que:

Ejemplos:
¿Cuántos radianes mide un ángulo de 45º?
Calculamos la proporción:

¿Cuántosgrados son 2 rad?
Calculamos la proporción:

¿Cuántos radianes son 60º,30'?
En primer lugar pasamos los minutos a grados utilizando la
calculadora: escribimos 60,30 y el resultado es 60,5º. Ahora
hacemos la proporción entre grados y radianes:
rad

¿Cuántos grados son 0,73 radianes?
Escribimos la proporción entre grados y radianes:

Área de Matemáticas - Módulo IV

Trigonometría¿Qué es la trigonometría?
Cuando los grandes genios del billar juegan tienen en su mente qué ángulo
de abertura tiene que tener la bola para dar en el sitio deseado. Como vemos
si trazamos una línea recta y otra en oblicuo desde la bola hasta la mesa
tenemos un triángulo rectángulo. En este triángulo, si mido, conoceré la
hipotenusa y los dos catetos, pero desconozco el ángulo que debe formarla
mesa y la trayectoria de la bola. Para ello, tenemos la solución en la
trigonometría.

Consideremos un ángulo agudo

y las recta r y s que forman los lados del ángulo, tracemos distintas

rectas perpendiculares a la recta r por distintos puntos de la recta s. La figura que nos aparece son
distintos triángulos rectángulos que están en posición de Thales (recuerda el tema anterior). Portanto,
si aplicamos el teorema de Thales tenemos que:

.
Si nos fijamos, como son triángulos rectángulos, hemos calculado el cociente entre el cateto opuesto al
ángulo dibujado y la hipotenusa.

Este cociente que depende de la amplitud de ángulo
lo midamos, lo denominamos seno de

, y no depende del triángulo rectángulo donde

.

Por tanto, definiremos:

Podríamos hacer el cocienteentre el cateto contiguo y la hipotenusa y obtendríamos otro cociente
distinto a éste, que denominaremos coseno de .

O bien podríamos hacer el cociente entre el cateto opuesto y el cateto contiguo, y obtendríamos otro
número que llamaremos tangente de
.

Importante:
Como la hipotenusa de un triángulo rectángulo es siempre mayor que los catetos el seno y el
coseno tienen que ser menoresde 1.

Ejemplo
Calcula el valor del seno, el coseno y la tangente del ángulo (en los
siguientes triángulos).

sen

=

cos

=

tag

=

Ejemplo
Un triángulo rectángulo tiene un ángulo de 25º y su cateto opuesto
mide 9 cm. Calcula la hipotenusa y el otro cateto.

Como conocemos un ángulo y el cateto opuesto para calcular la hipotenusa aplicaremos el sen y para
calcular elcateto contiguo aplicaremos la tangente.
sen 25 =

cm

Para calcular el seno escribimos 25 y pulsamos la tecla sin.
tag 25 =

cm

Para calcular la tangente escribimos 25 y pulsamos en la tecla tan.

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Trigonometría

Razones trigonométricas de 45º
Consideremos un triángulo rectángulo isósceles como el que aparece en la figura. Al ser isósceles
tienetambién dos ángulos iguales, y por tanto, los ángulos agudos miden 45º .

Medimos los catetos y supongamos que miden 1 cm cada uno. La medida de la hipotenusa la
calculamos mediante el teorema de Pitágoras:
cm

Ahora que conocemos los tres lados del triángulo rectángulo podemos calcular las razones
trigonométricas del ángulo de 45º:

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Razones...