Trigonometria

Ecuaciones y sistemas de ecuaciones trigonométricas
Juan José Isach Mayo 7/01/2007

Contents
I Ecuaciones y sistemas ecuaciones trigonométricas 1
1 2 10

1 Ecuaciones trigonométricas 1.1 Ejemplos de ecuaciones trigonométricas . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Ejercicios ecuaciones trigonométricas . . . . . . . . . . . . . . . .

2 Sistemas de ecuaciones trigonométricas 21 2.1 Ejemplos desistemas de ecuaciones trigonométricas . . . . . . . . 21 2.2 Ejercicios sistemas de ecs. trigonométricas . . . . . . . . . . . . . 28

Part I

Ecuaciones y sistemas ecuaciones trigonométricas
1 Ecuaciones trigonométricas
Para resolver las ecuaciones trigonométricas no existen procedimientos especí…cos. A veces tendremos que: a) Factorizar utilizando adecuadamente las fórmulas que conocemos.Veamos algunos ejemplos: b) Intentar que en la ecuación trigonométrica , tan solo aparezca una sola razón trigonométrica del mismo ángulo c) Aislar una razón trigonométrica y elevar al cuadrado. Cuando utilicemos este procedimiento; es conveniente comprobar las soluciones (alguna puede que no lo sea). d) Combinando los procedimientos explicados con anterioridad etc,etc,etc...

1

1.1Ejemplos de ecuaciones trigonométricas

Ejemplo 1 Resuelve la ecuación 2 sin x cos x = sin x 2 sin x cos x = sin x 2 sin x cos x sin x = 0 sin x(2 cos x 1) = 0 8 < 2k sin x = 0 ! x = k2Z : + 2k 8 > > 3 + 2k < 1 1 = 0 ! cos x = ! x = > 5 2 > : + 2k 3

8 > > > > > > > > <

Ejemplo 2 Resuelve la ecuación cos 3x + cos x = cos 2x Para resolver esta ecuación utilizaremos la fórmula: cos C + cos D = 2cos C +D 2 cos C

> > > > 2 cos x > > > > :

k2Z

D 2

para transformar cos 3x + cos x en forma de producto. Fíjate que: cos 3x + cos x = 2 cos 2x cos x Así pues ; resolver la ecuación cos 3x+cos x = cos 2x es lo mismo que resolver la ecuación: 2 cos 2x cos x = cos 2x 2 cos 2x cos x cos 2x = 0 cos 2x(2 cos x 1) = 0 8 8 > > > > < 4 +k < 2 + 2k cos 2x = 0 ! 2x = !x= k2Z > 3 > 3 > > : : + 2k+k 2 4 8 < + 2k 1 3 2 cos x 1 = 0 ! cos x = ! x = k2Z 5 : 2 + 2k 3 S= + 2k ; 5 3 + 2k ; + k ; + k con k 2 Z 3 4 4

El conjunto solución de esta ecuación trigonométrica es :

3

2

Observación 3 Vamos a resolver esta ecuación de otra manera. Para ello; vamos a escribir cos 3x en función sólo del cos x y cos 2x en función del cos x cos 3x = = = = = = cos(2x + x) = cos 2x cos x sin 2x sin x =(cos2 x sin2 x) cos x 2 sin x cos x sin x = cos3 x sin2 x cos x 2 sin2 x cos x = cos3 x 3 sin2 x cos x = cos3 x 3(1 cos2 x) cos x = cos3 x 3 cos x + 3 cos3 x = 4 cos3 x 3 cos x 1

cos 2x = cos2 x sin2 x = cos2 x-sin29 = cos2 x (1 cos2 x) = 2 cos2 x x 8 < cos 3x = 4 cos3 x 3 cos x = y entonces resolver la ecuación Como : ; cos 2x = 2 cos2 x 1 cos 3x + cos x = cos 2x Es equivalente a resolver laecuación cos 3x + cos x = cos 2x 4 cos x 3 cos x + cos x = 2 cos2 x 3 4 cos x 2 cos2 x 2 cos x + 1 = 0
3

1

Si llamamos a cos x = X: Tendremos que resolver la ecuación: 4X 3 2X 2 2X + 1 = 0

Para ello; factorizamos aplicando la regla de Ru…nni

X

1 2

4X 2

2 =0!

8 > > > > > <

Deshaciendo el cambio de variable, el problema ha quedado reducido a resolver las tres ecuacionestrigonométricas siguientes:

> 4X 2 > > > > :

1 1 =0!X= 2 8 2 p > 1 > p = 2 < 2 2 p 2=0!X= > 2 > : 2 X

3

1 k2Z !x= > 5 2 > : + 2k 3 8 > p > 4 + 2k < 2 !x= 2. cos x = k2Z > 7 2 > : + 2k 4 8 3 > p > < 4 + 2k 2 k2Z 3. cos x = !x= > 5 2 > : + 2k 4 1. cos x = Puedes comprobar que el conjunto 4 coincide con el conjunto siguiente

8 > > 3 + 2k <

+ 2k ;

3 5 7 + 2k ; + 2k ; + 2k con k 2Z 4 4 4

3 +k ; + k con k 2 Z 4 4 Con lo que; el conjunto solución de la ecuación trigonométrica es: S= + 2k ; 5 3 + 2k ; + k ; + k con k 2 Z 3 4 4

3

Las soluciones en [0; 2 ) son : 3 ; 5 5 3 7 ; ; ; ; 3 4 4 4 4

Ejemplo 4 Resuelve cos2 x + 2 sin x = 2 Tendremos que expresar el cos2 x en función del sin x: Para ello; utilizamos la fórmula fundamental de trigonometría (cos2 x = 1 sin2...