Trigonometria



INDICE


1. Introducción.
2. La esfera: sus elementos.
2.1. Circulo máximo
2.2. Volumen y superficie esférica
2.3. Dominio sobre la superficie esférica
3. Triangulo esférico
3.1. Fórmulas fundamentales
3.1.1. Fórmulas del Coseno
3.1.2. Fórmulas del Seno
3.1.3. Fórmulas de la cotangente
3.1.4. Fórmula de Wessel
3.1.5. Presentación matricial de las fórmulas del triángulo esférico3.1.6. Triángulo esférico rectángulo
4. Pentágono de Napier
5. Bibliografía























INTRODUCCIÓN

La trigonometría es una rama de la Matemática en la que se analiza la medida de las partes de los triángulos, tanto de los triángulos planos como de los esféricos así como de las figuras que se forman con ellos.
Así como en Topografía y en Cartografía esmuy importante la Trigonometría Plana, en Astronomía y en Geodesia es fundamental el análisis de los triángulos esféricos.
En el posterior desarrollo de la Trigonometría Esférica se considera básico el conocimiento de la trigonometría Plana y de las propiedades de las funciones trigonométricas.

1. LA ESFERA. SUS ELEMENTOS.














La esfera:

Una esfera E, de centro enel punto (a, b, c) y radio k, es el dominio de R3 definido por:
E = {(x, y, z) ϵ R3 / (x - a)2 + (y - b)2 + (z - c)2 ≤ k2 }

















Superficie de la esfera:

Se llama superficie de una esfera de centro en el punto (a, b, c) y radio k, al dominio de R3 definido por:

E = {(x, y, z) ϵ R3 / (x - a)2 + (y - b)2 + (z - c)2 = k2}


Círculos máximos:

Se llamancírculos máximos de una esfera de radio k a las circunferencias de radio k. Los círculos máximos están contenidos en la superficie de la esfera.
Se llama ángulo barrido sobre un círculo máximo comprendido entre dos punto A y B del mismo al ángulo AOB, siendo O el centro matemático de la esfera.




Propiedades elementales:

a) 4 puntos del espacio euclídeo R3 definen una esfera, y solo una.b) Por un punto P de la superficie de una esfera pasan infinitos círculos máximos.
Por dos puntos P y Q de la superficie de una esfera pasa un círculo máximo y sólo uno.

c) Si la longitud de arco desde A a B es a y el radio de la esfera es k, el ángulo sobre el círculo máximo es @ = a/k.






Volumen y superficie de la esfera:

El volumen de una esfera es el volumen derevolución engendrado por un recinto circular que gira alrededor del diámetro.
La superficie es la superficie lateral de un cuerpo de revolución.
Si consideramos a la esfera centrada en el origen, se tiene:























Cálculos:


Dominio sobre la superficie esférica:

Un dominio de superficie esférica es un recinto o área sobre la superficie de la esferalimitado por curvas contenidas en dicha superficie.
















Triángulo esférico:

Un triángulo esférico de vértices A, B y C, es el dominio de superficie esférica limitado por tres círculos máximos que se cortan en A, B y C.
















Los lados a, b y c, son respectivamente, los arcos de circulo máximo opuestos a A, B y C.
En todo triangulo esféricode lados a, b y c, y de vértices A, B y C, sobre una superficie esférica de radio k, se pueden distinguir 6 ángulos:
A, B y C: son los ángulos diedros que definen los círculos máximos que se cortan en dichos puntos.
a/k, b/k, c/k son los ángulos centrales (con vértices en el centro de la esfera) barridos por cada uno de los lados a, b y c.
las razones trigonométricas seno, coseno, tangente,cotangente, secante y cosecante de cada uno de estos ángulos son también el seno, coseno, tangente, cotangente, secante y cosecante del ángulo plano de igual amplitud.
Esto quiere decir que son validas las formulas de la trigonometría plana para cada ángulo, esto es:

Relaciones elementales:



Angulo suma/diferencia:









Angulo doble:

Angulo mitad:
Factorización de...