Trigonometria

1

3.1

Ejercicios Trigonometría 4.1

3.1.1

Ejercicios resueltos

1. Comprobar la siguiente identidad trigonométrica curiosa:
tg 2 (α) − sen2 (α) = tg 2 (α) · sen2 (α)
Solución:
En primer lugar desarrollaremos el primer término de la igualdad. Así:
tg 2 (α) − sen2 (α) =
sen2 (α) − sen2 (α) cos2 (α)
cos2 (α)

sen2
− sen2 (α) =
cos2 (α)

=

sen2 (α)(1 − cos2 (α))
=
cos2(α)

=

sen2 (α) · sen2 (α)
=
cos2 (α)

1

z
}|
{
sen2 (α) · (sen2 (α) + cos2 (α) − cos2 (α))
cos2 (α)

= tg 2 (α) · sen2 (α)
2. Sabiendo que tg( x2 ) =

1
2

calcular sen(x).

Solución:
Como vimos, utilizando la expresión de la tangente del ángulo doble tenemos::
2tg( x2 )
2 ∗ 12
4
x
=
tg(x) = tg(2 ) =
1 2 = 3
2
1 − tg 2 ( x2 )
1 − (2)
Ahora bien, conocemos tg(x)pero nos piden sen(x). Este caso es típico, para ello partiremos de
la relación fundamental:
sen2 (α) + cos2 (α) = 1 ⇒
1+

1
tg 2 (x)

=

sen2 (x) =

cos2 (x)
1
sen2 (x)
+
=
2
sen (x) sen2 (x)
sen2 (x)

1
1
1
⇒1+
=
2
2
sen (x)
(4/3)
sen2 (x)
4
16
⇒ sen(x) = ±
25
5

Notar que tenemos dos valores (uno positivo y otro negativo) ya que la tangente es positiva enel primer y tercer cuadrante, pero no así en seno.
3. Conocidos los tres ángulos de un triángulo es posible resolver el triángulo?
Solución:
La respuesta a esta cuestión es negativa, ya que existen infinitos triángulos semejantes a uno
dado con idénticos ángulos.

2

Lo que si sabremos es que los lados de todos ellos serán proporcionales.
4. Los lados de un triángulo midenrespectivamente 13, 14 y 15 cm. Hallar sus ángulos así como
es área del triángulo.
Solución:
A partir de los datos del problema debemos encontrar los valores de los ángulos.

Como nos dan sus tres lados podemos aplicar el teorema del coseno, de donde:
c2 = a2 + b2 − 2ab cos(C)

152 = 132 + 142 − 2 ∗ 13 ∗ 14 ∗ cos(C)
132 + 142 − 152
⇒ C = arccos(0.3846) = 1.176 rad.
cos(C) =
2 ∗ 13 ∗ 14Análogamente:
a2 = b2 + c2 − 2bc cos(A) ⇒ cos(A) =
A = arccos(0.508) = 1.038 rad

152 + 132 − 142
2 ∗ 13 ∗ 15

Utilizando que la suma de los ángulos ha de ser π rad, tenemos:
B = π − 1.038 − 1.176 = 0.927
Por otro lado para calcular el área debemos notar que, por ejemplo:
sen(A) =
de donde:
area =

h
⇒ h = 13 ∗ sin(1.038) = 11.198
13

15 ∗ 11.198
base · altura
=
= 83.985 cm2
2
2

35. Encontrar el valor de x y h a partir de los datos que se nos indican en el siguiente dibujo,
sabiendo que A = π/6 y B = π/3.

Solución:
A partir de las tangentes de los ángulos A y B obtenemos:
√
½
½ 1√
h
h
1
tg(A) = 10+x
3
tg(π/6) = √
3 3 = 10+x
3
√
⇒
⇒
tg(π/3) = 3
tg(B) = hx
3 = hx
√
h = 5 3 unidades
⇒
x = 5 unidades
6. Un aeroplano vuela a 170 km/s hacia el nordeste,en una dirección que forma un ángulo de 52◦
con la dirección este. El viento está soplando a 30 km/h en la dirección noroeste, formando
un ángulo de 20o con la dirección norte. ¿Cuál es la ”velocidad con respecto a tierra” real del
aeroplano y cuál es el ángulo A entre la ruta real del aeroplano y la dirección este?

Solución:
Indiquemos la velocidad del aeroplano relativa al aire como V,la velocidad del viento relativa a
tierra como W, y la velocidad del aeroplano relativa a tierra U=V+W.
Para ejecutar la suma real cada vector debe descomponerse en sus componentes. Por tanto obtenemos:
V y = 170sen(52◦ ) = 133.96
V x = 170cos(52◦ ) = 104.6
W x = −30sen(20◦ ) = −10.26

W y = 30cos(20◦ ) = 28.19

de donde:
U x = 94.4

U y = 162.15

4
Entonces, por el teorema dePitágoras, dado que
U 2 = U x2 + U y 2 ⇒ U = 187.63km/h
Por otro lado
cos(A) =

3.1.2

Ux
= 0.503125 ⇒ A = arccos(0.503125) = 1.0436 rad = 59.80
U

Ejercicios propuestos

1. Calcular todos los ángulos α ∈ [0, 2π] tales que 2 · cos(α) = 3 · tg(α) (sol: α = π/6 , α = 5π/6)
2. Si α y β son ángulos comprendidos entre 0 y 2π radianes. ¿Qué relación hay entre ellos si se
verifica que...