trigonometria




UNIDAD EDUCATIVA PRIVADA UNIDAD EDUCATIVA PRIVADA
ESCUELA DIOCESANA SAN JUAN BAUTISTA INSTITUTO DIOCESANO PABLO VI
MARACAY – ARAGUA MARACAY – ARAGUAMATEMÁTICA 1ero DIVERSIFICADO


TRIGONOMETRÍA
2do Lapso

DEDUCIR LAS FÓRMULAS TRIGONOMÉTRICAS DE LA SUMA Y DIFERENCIA DE ÁNGULOS.

DEMOSTRACIONES
sen(α+β), cos(α+β) y tag(α+β)
Dadas las funciones (senα, cosα, senβ, cosβ), buscamos fórmulas que enuncien el sen(α+β) y el cos(α+β).
Como se muestra en eldibujo, para deducir la fórmula combinamos dos triángulos rectángulos
ABC que tiene un ángulo α
ACD " " " " β
El lado mayor ("hipotenusa') de ACD es AD=R. Por consiguiente
DC = R sen β
AC = R cos β
De modo semejante
BC = AC sen α = R cos β sen α
AB = AC cos α = R cos βcos α
El triángulo ADF es rectángulo y tiene el ángulo (α+β) . Por lo tanto
R sen (α+β) = DF
Rcos (α+β) = AF
Comenzamos deduciendo el seno(α+β):
R sen (α+β) = DF = EF + DE = BC + DE
Observe en el dibujo los dos ángulos enfrentados señalados con líneas dobles: al igual que todos esos ángulos, deben ser iguales. Cada uno es uno de los ángulos agudos de su triángulo rectángulo. Como los ángulos agudos de ese triángulo suman 90 grados, los otros dos ángulos agudos deben seriguales. Esto justifica el indicar el ángulo cerca de D como α, como se dibuja en la figura.
En el triángulo rectángulo CED
DE = DC cos α = R sen β cos α
EC = DC sen α = R sen β sen α
Anteriormente se presentó que
BC = R cos β sen α
AB = R cos β cos α
Por consiguiente
R sen (α+β) = BC+DE = R cos β sen α + R sen β cos α
Eliminando R y reacomodando α para que preceda β

sen(α+β) = cos β sen α + sen β cos α

Del mismo modo, para el coseno(α+β)
R cos (α+β) = AF = AB – FB = AB – EC =
= R cos β cos α – R sen β sen α
Eliminando R y reacomodando
cos (α+β) = cos β cos α – sen β sen α
Para la tag(α+β)




Razones trigonométricas del ángulo diferencia
Si en las fórmulas de la suma cambiamos a por -b y tenemos en cuenta las relaciones entre las razones deángulos opuestos obtendremos:





 





HALLAR LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS DE UN ÁNGULO 2A, Y DEL ÁNGULO CONOCIDA UNA FUNCIÓN DEL ÁNGULO


RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DEL ÁNGULO DOBLE
Si en las fórmulas de la suma hacemos a=b obtendremos:



Razones trigonométricas del ángulo mitad

Si aplicamos la fórmula del coseno del ángulo doble al ángulo α/2 y la formula fundamental dela trigonometría a α/2 , obtenemos dos igualdades que al sumarlas nos proporcinan otra igualdad de la que podemos despejar el coseno del ángulo mitad.
Si las restamos obtenemos una igualdad que nos permite obtener la fórmula del seno del ángulo mitad.
Y dividiendo estas últimas obtenemos la fórmula de la tangente del ángulo mitad



Se utiliza el signo + o el signo - dependiendo delcuadrante en que se encuentre el ánguloα/2 .

Transformación de sumas y diferencias en productos

En ciertos casos interesa expresar una suma o diferencia como producto. Las fórmulas que lo permiten son:



Las primera se obtiene sumando la fórmula del seno de la suma con la del seno de la diferencia y sustituyendo en la igualdad que obtenemos el resultado de resolver el sistema α + β =A, α - β=B.
La segunda restando en lugar de sumar y con el mismo proceso.
La tercera y cuarta se obtienen de forma similar pero utilizando las fórmulas del coseno de la suma y el coseno de la diferencia.
 


EJERCICIOS

Dados sen A =cuadrante, hallar: 1)
2)
3)
4)
5) Dadas las funciones cos B = , hallar:

EJERCICIO
SOLUCION
EJERCICIO...