Trigonometria

UNIDAD 11

TRIGONOMETRIA

Objetivo General
Al terminar esta unidad podrás resolver ejercicios y problemas utilizando las
funciones trigonométricas.
Objetivos específicos:
1. Recordarás las funciones trigonométricas en los triángulos rectángulos.
2. Recordarás el uso de funciones trigonométricas en los ángulos en
general.
3. Recordarás los valores de las funciones trigonométricas enángulos
usuales.
4. Recordarás el uso de grados y radianes. Utilización del círculo unitario
y proyecciones.
5. Recordarás el uso de las identidades trigonométricas fundamentales.
6. Recordarás la variación de las funciones trigonométricas según al
cuadrante al que correspondan los ángulos.
7. Recordarás el uso de unciones trigonométricas inversas.
8. Recordarás la ley de los senos y de loscosenos.

1. Recordarás las funciones trigonométricas en los triángulos rectángulos.
Definición de las funciones trigonométricas en los triángulos.
Tracemos una semicircunferencia de radio igual a la unidad, como en La figura 1.
Tomamos un punto cualquiera A de la semicircunferencia e indiquemos por α el ángulo
AOB. Tracemos desde el punto A la perpendicular AD al diámetro BC. Se llamaseno del
ángulo α la longitud del segmento AD. El seno del ángulo α se designa como sen α. Por
definición se acepta que sen 0º = 0 y que sen 180º = 0.

A

α
C

0

D B

Fig. 1

El coseno del ángulo α se designa como cos α. Si el ángulo α es agudo, el cos α es igual a
la longitud del segmento OD. Si el ángulo α es obtuso, el cos α es un número negativo cuyo
valor absoluto es igual ala longitud del segmento OD. Por definición se acepta que cos
0º=1, que cos 90º =0 y que cos 180º = -1.
Se llama tangente del ángulo α a la razón del sen α y cos α

tan α =

senα
cos α

La tangente del ángulo α no está definida si α=90º. Las funciones sen α, cos α y tg α se
llaman funciones trigonométricas del ángulo α.
Teorema: Cualquiera que sea α se tiene sen 2 α + cos 2 α = 1Definición de las funciones trigonométricas en los triángulos rectángulos.

Un triángulo es rectángulo si uno de sus ángulos es recto. Si θ es un ángulo agudo, se puede
considerar con un ángulo de un triángulo rectángulo y podemos referirnos a las longitudes
de la hipotenusa, el lado opuesto y el lado adyacente.

Al introducir un sistema de coordenadas rectangulares como en la figura 2, laslongitudes
del lado adyacente y del lado opuesto para θ son la coordenada de x y la coordenada de y,
respectivamente, de un punto Q del lado terminal de θ.

r
y
α
x

Fig. 2

Las funciones trigonométricas de un ángulo agudo α en un triángulo rectángulo, se definen
por:
SENO.- Es la razón entre el cateto opuesto y la hipotenusa.
senα =

opuesto
y
=
hipotenusa r

COSENO: Es larazón entre el cateto adyacente y la hipotenusa.
Cosα =

adyacente x
=
hipotenusa r

TANGENTE: Es la razón entre los catetos opuesto y adyacente.
Tgα =

opuesto
y
=
adyacente x

COTANGENTE: Es la razón entre los catetos adyacente
Ctgα =

adyacente x
=
opuesto
y

SECANTE.- Es la razón entre la hipotenusa y el cateto adyacente.
Secα =

hipotenusa r
=
adyacente xCOSECANTE: Es la razón entre la hipotenusa al cateto opuesto.
Cscα =

hipotenusa r
=
opuesto
y

Ejemplos:
1) Hallar valores de funciones trigonométricas de un ángulo agudo.

Si θ es un ángulo agudo y cos θ =

3
, halla los valores de las funciones trigonométricas de
4

θ.
Comenzamos por trazar un triángulo rectángulo con un ángulo agudo θ con el cateto
adyacente igual a 3 y lahipotenusa igual a 4, empleamos el teorema de Pitágoras para
determinar el lado faltante.
32 + (opuesto) 2 = 42
(opuesto) 2 = 16 − 9
opuesto = 7

Al aplicar la definición de funciones trigonométricas de un ángulo agudo de un triángulo
rectángulo, se obtiene:
3
7
7
cos θ =
cos θ =
senθ =
4
3
4
4
4
3
sec θ =
csc θ =
cot θ =
3
7
7

2) Hallar los valores de las funciones...