Trigonometria

Departamento de Matemáticas

I.E.S. Arroyo de la Miel

TRIGONOMETRIA
Relación fundamental de la trigonometría
2
2
sen x + cos x = 1

Ángulo doble:

Ángulo mitad

1 - cos x
x
sen =
2
2
1 + cos x
x
cos =
2
2

sen 2x = 2 sen x . cos x
cos 2x = cos2 x - sen2 x

tg 2x =

2 tg x
1 - tg 2 x

tg

1 - cos x
x
=
1 + cos x
2

Suma de ángulos:

cos (x + y) = cos x . cos y - sen x . sen y
sen (x + y) = cos x. sen y + sen x . cos y
tg x + tg y
tg (x + y) =
1 - tg x . tg y
Resta de ángulos:

cos (x - y) = cos x . cos y + sen x . sen y
sen (x - y) = sen x . cos y - cos x . sen y
tg x - tg y
tg (x - y) =
1 + tg x . tg y
Transformación de sumas en productos:

 x+ y 
 x- y
sen x + sen y = 2 sen 
 . cos 

 2 
 2 
 x+ y 
 x- y
sen x - sen y = 2 cos 
 . sen 

 2 
 2 
 x+ y 
 x- ycos x + cos y = 2 cos 
 . cos 

 2 
 2 
 x+ y 
 x- y
cos x - cos y = - 2 sen 
 . sen 

 2 
 2 

1

Trigonometría

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I.E.S. Arroyo de la Miel

 x+ y 
tg 

sen x + sen y
2 

=
sen x - sen y
x- y
tg 

 2 

tg x ± tg y =

sen (x ± y)
cos x . cos y

Teorema del coseno:

Teorema del seno:

a
b
c
=
=
sen A sen B sen C

2
2
2
a = b + c - 2bc cosA
2
2
2
b = a + c - 2ac cos B
2
2
2
c = a + b - 2ab cos C

Razones trigonométricas de un ángulo
1. ¿Existe un ángulo "x" tal que senx=1/2 y cosx=1/4? ¿Puede valer el seno de un ángulo 1/8?.
Sol: no, si.
2. Calcula las restantes razones trigonométricas del ángulo α: a) senα=1/4 y α  al primer cuadrante;
b) senα=-1/3 y α  al tercer cuadrante. Sol: a) cosα= 15 /4, tgα=1/ 15 ; b) cosα=-2 2 /3, tgα= 2/4
3. Dibuja un ángulo cuyo seno sea el doble que su coseno.
4. Calcula en cada caso el valor de las demás razones trigonométricas considerando que x está en el
primer cuadrante: a) senx= 3 /2; b) cosx=0,8; c) tgx=2.
Sol: a) cosx=1/2; tgx= 3 ; b) senx=0,6; tgx=3/4; c) senx=2/ 5 ; cosx=1/ 5 .
5. Calcula el seno, el coseno, la tangente, la contangente, la secante y la cosecante del ángulo de1.110º.
Sol: 1110º=30º; sen1110=1/2, cos1110=3/2, tg1110=1/3, cotg1110= 3 , sec1110=2/ 3 , cosec1110=2.
6. Dibuja ángulos que cumplan las siguientes condiciones y estima el valor de sus razones
trigonométricas. a) senα=-1/2; tgα>0; b) tgβ=1; cos β<0. Sol: a) 210º; cosα=-3/2, tgα=1/ 3 ; b) 225º;
senα=- 2 /2, cosα=- 2 /2
7. Calcula senx, tgx, secx, cosecx, y cotgx, si cosx=0,6 y tgx<0.
Sol: senx=-0,8;tgx=-4/3, secx=5/3; cosecx=-5/4; cotgx=-3/4.
8. ¿Para qué angulos es senα=-cosα?. Sol: 135º y 315º
9. Escribe en grados sexagesimales, centesimales y en radianes, el ángulo que forman las agujas del
reloj cuando son: a) las 6:00; b) las 3:00; c) las 10:00.
Sol: a) 180º, 200º, πrad; b) 90º, 100º, π/2 rad; c) 60º, 200/3º, π/3 rad
10. Expresa en grados sexagesimales: a) π/4 rad; b) 3π/4 rad; 5π/4 rady 4π/3 rad.
Sol: a) 45º; b) 135º; c) 225º; d) 240º.
11. Completa la tabla:

2

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Radianes
Grados

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π/3

π
30

3π/4

45

225

5π/4

π/2
330

270

Sol: π/6, π/4, 5π/4, 7π/6, 3π/2, 60º, 180º, 135º, 225º, 90º
12. Halla las razones trigonométricas de α: a) cosα=3/5 y α pertenece al cuarto cuadrante; b) cosα=-1/3 y
α pertenece alsegundo cuadrante; c) tgα=-2/5 y α pertenece al segundo cuadrante; d) secα=-3/2 y α
pertenece al tercer cuadrante.
Sol: a) senα=-4/5; tgα=-4/3; b) senα=2 2 /3, tgα=-2 2 ; c) senα=2/ 29 , cosα=-5/ 29 ; d) senα=-

5 /3, cosα=-2/3
13. Puede ser cierto: a) senα=1/5 y cosα=2/5; b) senx=1/3 y tgx=1/9. Sol: a) no; b) no
14. Si un ángulo está situado en el tercer cuadrante. ¿Qué signo tienen: la cotangente, lacosecante y la
secante de ese ángulo?. Sol: cotg(+), cosec(-), sec(-)
15. Si un ángulo está situado en el segundo o tercer cuadrante, ¿se puede asegurar que su tangente es
negativa?. Sol: en el 2º (-); en el 3º(+).
16. Si tgα=4 y α[180,270], calcula el valor de las restantes razones trigonométricas:
Sol: senα=-4/ 17 ; cosα=-1/ 17 .
17. Usando la calculadora resuelve: senx=0,6018; cosy=0,6428;...