Trigonometria

LA ENSEÑANZA DEL ÁLGEBRA Y LOS MODELOS DE ÁREA
María Cristina Covas y Ana Bressan GPDM

El modelo de área en la enseñanza El modelo de área para representar cuadrados de binomios y ecuaciones cuadráticas alcanza cierta difusión en la enseñanza escolar en los años 60 y 70 a través del trabajo del Dr. Zoltán Dienes. Este matemático y didacta húngaro, en colaboración con el psicólogo cognitivoDr. Jerome Bruner, trabaja en un proyecto cuyo objetivo es enseñar estructuras matemáticas a niños de escuela básica (entre 5 y 13 años), en concordancia con el enfoque de la enseñanza de la matemática de la época. Para eso se apoya en el uso de manipulativos (materiales concretos) especialmente diseñados, con los cuales busca representar lo más “puramente” posible los conceptos matemáticos ylógicos que se consideran pueden ser estudiados en esas edades. Siguiendo el pensamiento del Bruner, quien elabora un modelo evolutivo de desarrollo conceptual que toma en cuenta las formas de representación enactiva (donde los alumnos manipulan materiales directamente), icónica (en que trabajan con imágenes de objetos, sin manipular los mismos) y simbólica (en que estrictamente se manejan símbolos, sinapelar a imágenes ni objetos) 1 , Dienes crea materiales y juegos variados para el tratamiento inicial de ideas lógicas y matemáticas. Entre los primeros están los bloques aritméticos multibase (BAM o bloques Dienes) constituidos por cubos de lado 1, regletas de la forma 1 por x (x toma un valor conocido) y placas cuadradas y cubos de lado x, utilizados para favorecer la comprensión de laspropiedades de los sistemas de numeración posicionales y de los algoritmos estándares. Estos materiales adoptan otro uso para la enseñanza del álgebra, interpretándose x como una variable, permitiendo así la materialización de expresiones cuadráticas, y la representación del proceso de factorización de las mismas y viceversa. A continuación se presenta una figura extraída del libro de L. Resnick y W.Ford: La enseñanza de las matemáticas y sus fundamentos psicológicos (1990, p. 147), que muestra claramente el uso de los bloques para factorizar ecuaciones cuadráticas.

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Bruner (1915), elaboró una teoría cognitiva del desarrollo conceptual que implica una secuencia en la enseñanza (descubrimiento guiado). Tomando la enseñanza de la matemática, como ejemplo, determina que la apropiación de lasestructuras de esta ciencia debe hacerse favoreciendo en los alumnos experiencias que le permitan desarrollar representaciones enactivas, icónicas u simbólicas. “Se plantea la hipótesis de que estas representaciones mentales sean las formas o modos en que se recuerdan las experiencias de aprendizaje, y en último extremo, los conceptos” (Resnick L. y Ford W. 1990. p. 155)

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Dienes sostienedos principios esenciales que deben cumplir las diversas materializaciones de que se haga uso en las aulas para enseñar estructuras matemáticas o lógicas: el de variabilidad perceptual, que debe permitir al niño “ver” la estructura que se desea enseñar desde distintas concretizaciones del mismo concepto, con el fin de enriquecer la imagen mental que obtenga del mismo. Esto implica que el alumnopueda abstraer las regularidades o propiedades esenciales de la estructura o concepto con independencia de las formas específicas que adopten los materiales; y el de variabilidad matemática, que ayuda a la generalización de un concepto a otros contextos, proveyendo a los alumnos de oportunidades de apreciar la idea de variación de la/s variable/s interviniente/s en la estructura o concepto aenseñar. Dienes (1970) dice al respecto
“Realmente, carece de objeto que exhibamos ante el niño una variable si antes no la ha visto variar. En cambio, si la variable ha variado de modo efectivo, en la experiencia del niño, la cuestión es bien distinta y no hace falta mucho tiempo para convencerle de que “representar un número cualquiera” por una letra es siempre una economía de expresión. … El...