Trigonometria

A2. Razones e identidades
trigonométricas
Gustavo Rocha
2011 - 1

Objetivo del tema
Utilización intensiva de las razones trigonométricas.
Utilización intensiva de las identidades trigonométricas.
Notas históricas sobre trigonometría.

Contenido del tema
Razones trigonométricas. Funciones trigonométricas.
Notación. Ángulos y su medición. Seno, coseno, tangente,
cotangente, secante y cosecante.Ley de los senos. Ley de los cosenos.
Identidades recíprocas.
Identidades pitagóricas.
Identidades de ángulos opuestos.
Identidades de ángulos complementarios.
Identidades de ángulos suplementarios.
Identidades de la suma y diferencia de ángulos.
Identidades del ángulo doble.
Identidades del ángulo medio.
Notas históricas sobre trigonometría.

Razones trigonométricas
La relación deproporcionalidad entre la longitud de los
lados de triángulos semejantes, depende solamente de
los valores de sus ángulos; de ahí surgen, de manera
natural, las denominadas razones trigonométricas,
definidas como cocientes entre las longitudes de dos
lados de triángulos rectángulos.

Razones trigonométricas
opuesto
sen  
hipotenusa
adyacente
cos  
hipotenusa
opuesto
tan  
adyacente
Clave mnemotécnica:soh cah toa

Razones trigonométricas
de ángulos notables

Escuadras

Radianes

0

 /6

 /4

 /3

 /2

Grados

0

30

45

60

90

sen 

0

1/2

 2/2

 3/2

1

cos 

1

 3/2

 2/2

1/2

0

tan 

0

 3/3

1

3



Ángulos
Las dos unidades más usuales para expresar ángulos
son los grados sexagesimales y los radianes.
Para la conversión de una unidad a otra sólo hay que
tomar encuenta la relación: 180    radianes
180

1 radián 
 57.296 ; 1  
 0.0175 radianes

180

Al trabajar con funciones trigonométricas los ángulos se
miden en radianes, es decir, los dominios de estas
funciones se expresan en términos de .
La medición de un ángulo  se hace, a partir del semieje
positivo x en sentido contrario a las manecillas del reloj.
Y un ángulo negativo -, se hace en elmismo sentido de
las manecillas del reloj.

Radián

Medición de ángulos
positivos y negativos
/3

5 / 6

 / 3

5 / 6

4 / 3

4 / 3

Ley de los senos
La ley de los senos establece que, en cualquier triángulo,
la relación de cualquiera de sus lados al seno del ángulo
opuesto es constante.

Ley de los cosenos
La ley de los cosenos permite calcular el tercer lado
desconocido, cuando seconocen dos lados y el ángulo.

Identidades trigonométricas










Las identidades trigonométricas son igualdades que
involucran funciones trigonométricas, verificables para
cualesquiera valores de los ángulos que se consideren.
Identidades recíprocas.
Identidades pitagóricas.
Identidades de ángulos opuestos.
Identidades de ángulos complementarios.
Identidades de ángulos suplementarios.Identidades de la suma y diferencia de ángulos.
Identidades del ángulo doble.
Identidades del ángulo medio.

Identidades recíprocas

Identidades trigonométricas
en función de las otras cinco

El signo de cada valor depende del cuadrante en el que se encuentre 

Identidades pitagóricas
sen 2   cos 2   1
sen 2   cos 2 
1

;
2
2
cos 
cos 

sen 2  cos 2 
1


2
2
cos  cos  cos 2 tan 2   1  sec 2 
sen 2   cos 2 
1

;
2
2
sen 
sen 

sen 2  cos 2 
1


sen 2  sen 2  sen 2 

cot   1  csc 
2

2

Identidades pitagóricas

1

sen 2   cos 2   1

1



cos 
cos 2 

sen
 2
sen

Identidades pitagóricas

sec 2 

1  tan   sec 
2

2

sec 


1
1

tan
tan
2 

Identidades pitagóricas

1  cot   csc 
2

2

?

Identidades de
ángulos opuestos
sen    sen 
cos     cos 
tan      tan 
cot      cot 
sec     sec 
csc      csc 

Identidades para la suma y
diferencia de ángulos
sen       sen  cos   cos  sen 
cos       cos  cos   sen  sen 

tan   tan 
tan      
1  tan  tan 
sen       sen  cos   cos  sen 

cos       cos  cos   sen  sen 
tan      ...