trigonometria

TRIGONOMETRÍA
(Primera parte)

Realizado por Mª Jesús Arruego Bagüés

INTRODUCCIÓN
Trigonometría significa, etimológicamente, medida de triángulos.
En los trabajos topográficos y de la construcción es necesario conocer
cotas, desniveles de terreno, etc., para lo cual se hace imprescindible
medir el valor de los ángulos que permiten calcular distancias.
El instrumento que se utiliza para medirángulos en tierra firme es el
teodolito.
Conociendo algunos elementos de un triángulo- algún lado, algún
ángulo- , podremos determinar los restantes.
Tales de Mileto (640-550 a. J.C.) en uno de sus viajes a Egipto midió la
altura de una pirámide aprovechando el momento en que su propia
sombra medía tanto como su estatura

2

• NOCIONES PREVIAS
• SISTEMAS DE MEDIDA DE ÁNGULOS. RADIÁN.
• RAZONESTRIGONOMÉTRICAS (R.T.) DE UN ÁNGULO
AGUDO.
• R.T. DE LOS ÁNGULOS 30º, 45º Y 60º.
• RELACIÓN FUNDAMENTAL DE TRIGONOMETRÍA
• R.T. DE LOS ÁNGULOS 0º Y 90º
• CIRCUNFERENCIA GONIOMÉTRICA.

3

NOCIONES PREVIAS
1. a. Proporcionalidad de segmentos y
semejanza
b.TEOREMA DE TALES

2. TEOREMA DE PITÁGORAS

1.a. Proporcionalidad de
segmentos y semejanza
Las sombras de los dos árboles son proporcionales a
lasrespectivas alturas
H

s h

S H

h
S. árbol
pequeño (s)

A

Sombra del árbol grande (S)

H

B
h

A’
S

B’

s

O

OB' BB'

k (razón de proporcionalidad)
OA ' AA '

Tales de Mileto (640-550 a. J.C.)
en uno de sus viajes a Egipto
midió la altura de una pirámide
aprovechando el momento en
que su propia sombra medía
tanto como su estatura

5

1.b. TEOREMA DE TALES
r

Si varias paralelas determinansegmentos iguales sobre una
recta r, determinan también
segmentos
iguales
sobre
cualquier otra recta r’ a la que
corten

E’
D’
C’
B’

E’’
D’’

C’’

A’
B’’
O
A

O
A

B

C

D

E

r’

A’

B’
B

OA OA '
AB A ' B'

o tambien

OB OB'
OB OB'

TEOREMA DE TALES:
Los segmentos determinados por
rectas paralelas en dos rectas
concurrentes son proporcionales.

6

Medida de ángulos
Los ángulos pueden medirse entres sistemas:
Sistema sexagesimal

(En la calculadora MODE DEG)

Sistema centesimal (En la calculadora MODE GRAD)
Radianes (En la calculadora MODE RAD)
Ángulo
completo

Ángulo
llano

Ángulo
recto

Un
grado

Un
minuto

SEXAGESIMAL

360º

180º

90º

60’

60”

CENTESIMAL

400g

200g

100g

100m

100s

2



/2

RADIANES

7

Expresa los siguientes ángulos en los tres
sistemas de medidaS.sexagesimal

60 º

S. centesimal

210º
50g

Radianes

S.sexagesimal
S. centesimal
Radianes

60g

100g

2π/3

5π/6

140º

240º
350g

90g
7π/8

25g
3

8

Ángulos en los tres sistemas de medida

S.sexagesimal

60 º

45º

120º

54º

210º

90º

150º

S. centesimal

66g 66m
66s

50g

133g 33m
33s

60g

233g 33m
33s

100g

166g 66m
66s


3


4

3
10

7
6


2

5
6

S.sexagesimal

140º

315º

157º 30’

81º240º

22º 30’

171º
53’14”

S. centesimal

155g 55m
55s

350g

175g

90g

266g 66m
66s

25g

190g 98m
59s

Radianes

14
18

7
4

7
8

9
20

4
3


8

3

Radianes

2
3

9

RAZONES
TRIGONOMÉTRICAS (R.T.)
B

B`

Los triángulos ABC, A’B’C y A”B”C son semejantes

B”

A

A`

A”

porque tienen los ángulos iguales.
En consecuencia los lados son proporcionales :

C

AB A ' B' A " B"
ˆ


sen C
BCB' C B" C

BC B' C B" C
ˆ


cos ec C
AB A ' B' A " B"

AC A ' C A " C
ˆ


cos C
BC B' C B" C

BC B' C B" C
ˆ


sec C
AC A ' C A " C

AB A ' B' A " B"
ˆ


tg C
AC A ' C A " C

AC A ' C A " C
ˆ


cot g C
AB A ' B' A " B"

10

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS (R.T.)
DE UN ÁNGULO AGUDO

c

Cateto opuesto de C

B
Sea ABC un triángulo rectángulo en A.

a

Se definen seis razones trigonométricasCateto adyacente o contiguo a C

A

b

ˆ 
sen C

cateto opuesto c

hipotenusa
a

ˆ 
sec C

C
hipotenusa
a

cateto adyacente b

ˆ  cateto adyacente  b
cos C
hipotenusa
a

ˆ  hipotenusa  a
cos ec C
cateto opuesto c

cateto opuesto
c

cateto adyacente b

ˆ  cateto adyacente  b
cot g C
cateto opuesto
c

ˆ 
tg C

ˆ 
sec C

1
ˆ
cos C

ˆ 
cos ec C

1
ˆ
sen C

ˆ  1
cot g C
ˆ
tg C

11...