Trigonometria





Investigaciones

Luis angel radilla ramirez





POSICIONES RELATIVAS DE DOS CIRCUNFERENCIAS

Hemos estudiado hasta ahora las posiciones relativas de un punto y una recta respecto a una circunferencia. Ahora estudiarás las posiciones relativas de una circunferencia respecto a otra circunferencia.
1) Dos circunferencias pueden ser exteriores una respecto a la otra cuando no tienen ningúnpunto en común y la distancia entre los centros de ambas es mayor que  la suma de sus radios.

Comprobarás que la distancia entre los centros es mayor que la suma de los radios:

2) Dos circunferencias son tangentes exteriores cuando la suma de sus radios es igual a la distancia de sus centros, lo que quiere decir que: 
Siendo r el radio de la circunferencia más pequeña y R el de la mayor y D ladistancia entre los centros:


3) Dos circunferencias son secantes cuando la distancia entre sus centros es menor que la suma de sus radios.
También decimos que dos circunferencias son secantes cuando tienen dos puntos comunes:

4) Dos circunferencias son tangentes interiores cuando éstas tienen un solo punto común.
En estas circunferencias la distancia entre sus centros es igual a la diferencia desus radios:

Las dos circunferencias tienen un punto común, en P.
Puedes comprobar que la distancia entre los centros de ambas circunferencias es igual a D y la diferencia entre las longitudes de 
los radios R y r, verás que es también igual a D.
Es muy importante que te fijes bien en que las distancias de los centros de las circunferencias tangentes interiores deben ser igual a la diferencia de susradios.
Podemos escribir la siguiente igualdad, como resumen a todo lo dicho hasta ahora:

5) Una circunferencia es interior a otra circunferencia cuando no tienen ningún punto en común y la distancia entre sus centros es menor que la diferencia de las longitudes de sus radios.
Lógicamente, podemos dibujar más de una circunferencia interior mientras se cumplan las condiciones indicadas másarriba.

Tienes en la figura precedente dos circunferencias cuyos radios son R = 3,5 cm., y r = 1,1 cm.
La circunferencia pequeña se encuentra dentro de la mayor y no tienen ningún punto en común.
La distancia entre los radios es de 1,24 cm. La diferencia entre las medidas de los radios es: 3,5 – 1,1 = 2,4.
Comprobamos que la diferencia de los radios es mayor que la distancia entre sus centros.
6) Doscircunferencias son concéntricas cuando tienen el mismo centro pero sus radios tienen distintas medidas.



Ecuación de la circunferencia
 
La circunferencia es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado centro (recordar que estamos hablando del Plano Cartesiano y es respecto a éste que trabajamos).
Determinación de una circunferencia
Una circunferenciaqueda  determinada cuando  conocemos:
 Tres puntos de la misma, equidistantes del centro.
 El centro y el radio.
 El centro y un punto en ella.
El centro y una recta tangente a la circunferencia.
También podemos decir que la circunferencia es la línea formada por todos los puntos que están a la misma distancia de otro punto, llamado centro.
Esta propiedad es la clave para hallar la expresiónanalítica de una circunferencia (la ecuación de la circunferencia).
Entonces, entrando en el terreno de la Geometría Analítica, (dentro del Plano Cartesiano) diremos que ─para cualquier punto, P (x, y),  de una circunferencia cuyo centro  es el punto C (a, b) y con radio r─, la ecuación ordinaria es
(x ─ a)2 + (y ─ b)2 = r2
¿Qué significa esto?
En el contexto de la Geometría Analítica significa que unacircunferencia graficada con un centro definido (coordenadas) en el Plano Cartesiano y con radio conocido la podemos “ver” como gráfico y también la podemos “transformar” o expresar como una ecuación matemática.
 
Así la vemos
Así podemos expresarla

 
Dónde:
(d) Distancia CP = r
y

Fórmula que elevada al cuadrado nos da
(x ─ a)2 + (y ─ b)2 = r2
También se usa como
(x ─ h)2 + (y ─ k)2 = r2
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