trigonometria

CURSO BÁSICO DE MATEMÁTICAS PARA ESTUDIANTES DE ECONÓMICAS Y EMPRESARIALES
Unidad didáctica 3. Trigonometría

Autoras: Gloria Jarne, Esperanza Minguillón, Trinidad Zabal

TRIGONOMETRÍA
La trigonometría se inicia estudiando la relación entre los ángulos y los lados de un triángulo,
surgiendo las razones trigonométricas de un ángulo y a partir de ellas las funciones trigonométricas.

MEDIDAS DEÁNGULOS: EL GRADO SEXAGESIMAL Y EL RADIÁN
Dos rectas perpendiculares se cortan formando cuatro ángulos iguales, a cada uno de estos ángulos
se le llama ángulo recto.

Un grado sexagesimal es la noventava parte de un ángulo recto, se denota 1º. Esto significa que
un ángulo recto tiene 90º y que el ángulo completo cuyo arco es toda la circunferencia tiene 360º.
Para medir ángulos que no corresponden aun número exacto de grados se utilizan como
submúltiplos la sesentava parte de un grado que se llama minuto (’) y la sesentava parte de un
minuto que se llama segundo (’’). Esto significa que 1º = 60’ y que 1’ = 60’’.
Ejemplo 1: Dados α = 74º 16’ 54’’ y β = 28º 45’ 13’’, calcular α + β, α - β, 3α, α/2.

α + β = (74º 16’ 54’’) + (28º 45’ 13’’) = 102º 61’ 67’’ = 102º 62’ 7’’ = 103º 2’ 7’’
α - β =(74º 16’ 54’’ ) - (28º 45’ 13’’ ) = (73º 76’ 54’’ ) - (28º 45’ 13’’ ) = 45º 31’ 41’’
3α = 3 (74º 16’ 54’’) = 222º 48’ 162’’ = 222º 50’ 42’’

α
2

=

1
2

(74º 16’ 54’’) = 37º 8’ 27’’

Un radián es la medida de un ángulo cuyo arco mide lo mismo que el radio con el que se ha
trazado.

Al medir los ángulos en radianes se obtienen números reales, por lo que las operaciones con ellos se
reducen aoperaciones con números reales y no es necesario operar como en el ejemplo 1.

Cambio de unidad de medida
Teniendo en cuenta que un ángulo de 360º tiene por arco toda la circunferencia, cuya longitud es L
L
L
= 2πr, se tiene que en la circunferencia caben
ángulos de un radián y que por tanto, 360º = =
r
r
© Proyecto de innovación ARAGÓN TRES

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Unidad didáctica 3. Trigonometría

Autoras: Gloria Jarne, Esperanza Minguillón, Trinidad Zabal

2π r
= 2π radianes. Con esta igualdad es fácil pasar la medida de un ángulo de grados a radianes y
r
viceversa, por ejemplo, mediante una regla de tres.
Ejemplo 2:
a) Veamos cuántos radianes mide el ángulo de 30º.
Llamando x a los radianes que mide un ángulo de 30º y considerando que 360ºson 2π radianes se tiene que:
360 ------- 2π
30 ------- x

de donde x =

30.2π
π
radianes.
=
360
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b) Veamos cuántos grados mide el ángulo de un radián.
Llamando x a los grados que mide un ángulo de un radián y considerando que 360º son 2π radianes se tiene que:
360 ------- 2π
360
de donde x =
grados, valor que aproximadamente es 57º 17’ 44”.
2π
x ------- 1

En la siguiente tabla se presentanlos valores de algunos ángulos en grados y radianes:
grados
radianes

0º 30º 45º 60º 90º 180º 270º 360º
0 π/6 π/4 π/3 π/2
π 3π/2 2π

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE UN ÁNGULO AGUDO
Si un ángulo α es agudo (menor que 90º), se puede considerar como uno de los ángulos de un
triángulo rectángulo, pudiéndose definir una serie de conceptos llamados razones trigonométricas:

• Seno de α es el cociente de lalongitud del cateto opuesto partido por la de la hipotenusa, se
b
denota senα =
a
• Coseno de α es el cociente de la longitud del cateto adyacente partido por la de la hipotenusa, se
c
denota cosα =
a
• Tangente de α es el cociente de la longitud del cateto opuesto partido por la del cateto
b
adyacente, se denota tgα =
c
Podría pensarse que estas definiciones no son consistentes puesto que “parece”que dependen del
triángulo rectángulo que se considere. Sin embargo no es así, ya que el valor del seno, del coseno y
de la tangente de un ángulo no varía aunque se considere otro triángulo rectángulo, puesto que
ambos son triángulos semejantes (por tener los tres ángulos iguales) y por tanto sus lados son
proporcionales.
Ejemplo 3: Determinar las razones trigonométricas del ángulo menor del...