Trigonometría

EJERCICIOS UNIDAD 3
TRIGONOMETRÍA
1. Expresar las siguientes razones trigonométricas en función de un ángulo del primer

cuadrante:
3
2
cos−150º
− cos30º
b. cot−150º 

 cot 30º 
sin−150º
− sin30º
3
c. cos−30º  cos 30º 
2
a. sin−120º  − sin 60º  −

2. Si tan  
a.

b.
c.
d.
e.
f.
g.

3

y 0 ≤  ≤ 90º calcular:
sin  − 
 − 
2
tan
 cos  1  4
tan 
sin 
2
3
 −
cos
2
sin 3 − 
2
tan 3 −  
 − cos   4
3
− sin 
2
3
cos 2 − 

sin 2  
tan    
 cos   − 4
2
− sin 
3
cos   
2
sin − 
tan −  
 −sin   − 3
cos
4
cos − 
3
sin 2  
tan 3   
 − cos   − 4
3
2
sin 
3
cos 2  
tan−  − tan   − 3
4
sin  
− sin
tan  
 − cos   3

4
cos  
3
4

3. Suponiendo que sin 25  0 ′ 422 y sin usar la calculadora calcular:
a. sin 55º  sin30º  25º  sin 30º cos 25º  sin 25º cos 30º 
o

3
≃ 0, 819
 1 1 − 0 ′ 442 2  0 ′ 422 
2
2
b. cos 55º  cos30º  25º  cos 30º cos 25º − sin 30º sin 25º 
3
1 − 0 ′ 442 2 − 1  0 ′ 422 ≃ 0, 574

2
2
c. sin 5º  sin30º − 25º  sin 30º cos 25º− sin 25º cos 30º 
3
≃ 0, 087
 1 1 − 0 ′ 442 2 − 0 ′ 422 
2
2
d. cos 5º  cos30º − 25º  cos 30º cos 25  sin 30º sin 25º 

3
1 − 0 ′ 442 2  1  0 ′ 422 ≃ 0, 996
2
2
4. Suponiendo que sin 20º  0 ′ 34 , calcular:
a. sin 65º  sin45º  20º  sin 45º cos 20º  sin 20º cos 45º 
2
2
1 − 0 ′ 34 2  0 ′ 34 
≃ 0, 905

2
2


b. cos 65º  cos45º  20º  cos 45º cos20º − sin 20º sin 45º 



2
2

1 − 0 ′ 34 2 − 0 ′ 34 

2
≃ 0, 424
2

5. Suponiendo que cos 25º  0 ′ 9 calcular:
a. sin 70º  sin45º  25º  sin 45º cos 25º  sin 25º cos 45º 

2
2
 0′9 
1 − 0 ′ 9 2 ≃ 0, 94
2
2
b. cos 70º  cos45º  25º  cos 45º cos 25º − sin 45º sin 25º 
2
2
 0′9 −
1 − 0 ′ 9 2 ≃ 0, 33

2
2
6. Si tan a  3 hallar:
4
3
3

tan a  tan30º  4
3
a. tana  30 o  
≃ 2, 341
1 − tan a tan 30º
3 3
1−
4 3
3
1−
4  1
b. tan45º − a  tan 45º − tan a 
7
3
1  tan 45º tan a
1
4


7. Sabiendo que tan a  2 calcular el valor de sin4a

sin4a  sin22a  2 sin2a cos2a  22 sin a cos acos 2 a − sin 2 a por lo tanto solo nos queda
calcular las razones trigonométricas de a.
Como tan a  2 yrecordando que 1  tan 2 a  sec 2 a , resulta que 1  4  sec 2 a y por lo tanto,
cos a  1 , y sin a  1 − cos 2 a  1 − 1  2
5
5
5
1 − 4  − 24
2  1
5
5
25
5
5
8. Sea un ángulo situado en el segundo cuadrante y tal que tan a  −3 . Hallar las razones
4
trigonométricas del ángulo a .
2
Calculamos el seno de a/2 y el coseno de a/2 en función del coseno de a recordando que
sec 2 a  1 tan 2 a  1  9  25 y por lo tanto, cos a  − 4 (sabemos que es negativo porque está en
5
16
16
Sustituyendo: sin4a  22 sin a cos acos 2 a − sin 2 a  2 2 

el segundo cuadrante)

1 4
1 − cos a 
5 
9  3 y
2
2
10
10
1− 4
a  1  cos a 
5 
1  1 siendo ambos positivos ya que si a está en
cos
2
2
2
10
10
a está en el primero.
segundo cuadrante entonces
2
9.Si a la tan a la llamamos t , expresar en función de t el seno y el coseno del ángulo a.
2
a  t  1 − cos a  t 2  1 − cos a  t 2 1  cos a  1 − cos a . Como el objetivo es
tan
2
1  cos a
1  cos a
despejar cos a operamos y lo aislamos en un miembro:
2
t 2  t 2 cos a  1 − cos a  t 2 cos a  cos a  1 − t 2  cos at 2  1  1 − t 2 luego cos a  1 − t 2 .
1t
2
2
Paracalcular el seno es ya mas facil: sin a  1 − cos 2 a  1 − 1 − t 2

1t
Ahora tenemos, sin a 
2

2



1−

1 − t 2 

1  t 2  2

10. Si cot a 

4
3

1  t 2  2 − 1 − t 2  2

1  t 2  2

1  t 4  2t 2 − 1 − t 4  2t 2
4t 2

 2t 2
1  t2
1  t2
1t

calcular cos 2a sabiendo que a está en primer cuadrante
csc 2 a  1  cot 2 a  csc 2 a  1  16 ...