triple producto escalar y sus propiedades

Lección 5. El producto vectorial o producto cruz
El producto vectorial ( por eso también llamado producto cruz) está definido únicamente para vectores de . El resultado será también unvector de
Definición: Sean y . El producto cruz de los vectores y se define como:

Nota: una manera sencilla de obtener el producto es: coloque el que va primero en el orden del productoencima del que va de segundo ( por eso el vector está encima y el vector debajo).

Para calcular la primera componente, se calculará un determinante por cofactores. Se omite la
primera componentetanto del vector como del vector .Se calcula el determinante
De la misma manera para la segunda se omiten y Se calcula el determinante
y así para la tercera calculando el determinanteDe esta manera se puede usar la notación:


Lo que se puede observar inmediatamente, por propiedades de los determinantes es que
pero que
Para la dirección de y de se aplica lo que seaplica en un sistema de mano derecha

Ejemplo 1: Siendo y calcular el vector


Teorema: Sean , y vectores de (escalar)
1) y (El vector es ortogonal tanto a como a )2) es paralelo a si y sólo si
3)
4) ( identidad de Lagrange)
5) siendo el ángulo entre los vectores y
6)
7)
Las demostraciones de cada uno de los numerales son básicamentecomprobaciones por esa razón no se harán sino 1) y 2) para ilustrar.

1)

2) Si , se tiene que existe tal que . Por lo tanto

Si , es porque se ha producido un determinante condos iguales ó múltiplos, por lo tanto


Para la propiedad 4) lo más sencillo es calcular cada uno de los lados de la igualdad por separado
y luego comprobar que ellos son iguales .
La propiedad5) es consecuencia de la 4) utilizando que

Propiedades del triple producto vectorial
1. Anticonmutativa
x = − x
2. Homogénea
λ ( x ) = (λ ) x = x (λ )
3. Distributiva
x (...