Triple Producto Escalar

Triple producto escalar

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Triple producto escalar
El triple producto escalar (o también conocido como producto mixto) es una operación entre tres vectores que combina el producto escalar conel producto vectorial para obtener un resultado escalar.

Producto punto y producto cruz
El producto punto es una operación entre dos vectores . Entre sus principales propiedades se encuentra elresultado que da como resultado un número (un escalar) por lo que también se le conoce como producto escalar y está definido como

donde

es el ángulo que forman los dos vectores. Usando eseresultado es posible establecer el siguiente criterio

para determinar si dos vectores son perpendiculares (ortogonales):
Dos vectores son perpendiculares si y sólo si .

Cuando los vectores sontridimensionales (esto es, son vectores de

) es posible definir otra multiplicación de

vectores cuyo resultado sea también un vector; dicha operación se denomina producto cruz o producto vectorial,definido mediante el determinante

donde El producto

son los vectores unitarios en la dirección de los tres ejes corresponde a un vector perpendicular a . y

.

cuya norma o módulo es

dondenuevamente,

es el ángulo entre los vectores.

Del resultado anterior se deducen dos resultados:
El valor de es igual al área del paralelogramo determinado por y .

Los vectores

y

sonparalelos (colineales) si y sólo si

.

Observemos la similitud entre este criterio y el de perpendicularidad para el producto punto.

Triple producto escalar
Los triples productos aparecen cuandose desea definir multiplicaciones entre tres vectores. Una expresión de la forma no tiene mucho sentido porque el resultado de el primer producto es un escalar

y no es posible calcular el productopunto entre un número (escalar) y un vector. Sin embargo, cuando los vectores son elementos de , podemos combinar el producto punto con el producto cruz para definir una nueva operación entre tres...