triple producto escalar

TRIPLE PRODUCTO ESCALAR
DEFINICIÓN:
Se trata de una operación entre 3 vectores en la cual se desarrolla primero la operación cruz entre dos vectores y luego al resultado se hace operación punto con el ultimo vector:
a •(bxc)= producto triple escalar donde a,b,c son los vectores cabe señalar que el resultado siempre será un escalar (solo tiene magnitud y no sentido o dirección) ya que elproducto cruz entre vectores siempre dará un vector y el producto punto un escalar una de sus aplicaciones son para determinar el valor de volumen que generen 3 vectores en el espacio:

EJEMPLO:
Dados los puntos A(-1,1,2) B(0,2,3) C(1,1,1,) D(-1,3,3)
si tres de las aristas de un paralepipedo AB,AC Y AD encontrar su volumen:

sabemos que el vértice se tiene en el punto A así que procedemos aencontrar los  vectores que van desde A hasta B,C,D respectivamente (que son las aristas mencionadas) de estoy aquí y voy para allá cuantos pasos tengo que dar para hacerlo.

A(-1,1,2)-B(0,2,3)=AB=(1,1,1)
A(-1,1,2)-C(1,1,1,)=AC=(2,0,-1)
A(-1,1,2)-D(-1,3,3)=AD=(0,2,1)

asi que ahora hallamos AB•(ACxAD)

ACxAD=(2,-2,4)

AHORA AB•(ACxAD)
(1,1,1)•(2,-2,4)=4

POR LO TANTO EL PARALEPIPEDOTIENE UN VOLUMEN DE 4 UNIDADES CUBICAS

Entendiendo que ya se sabe hallar el producto punto y el producto cruz.
Aplicación del Triple Producto Escalar
1. El triple producto escalar Nota: si los tres vectores son coplanares CALCULO VECTORIAL b x cb x c = SnS = área del paralelepípedo formado por los vectores a, b y c.
2. El triple producto escalar y esta expresión nos confirma que el orden delos vectores es irrelevante, excepto en el signo (siempre el resultado numérico será el volumen). Esto es
3. El triple producto vectorial el vector b x c es perpendicular al plano formado por los vectores b y c, y puesto que el vector a x (b x c) es perpendicular al vector b x c, entonces necesariamente a x (b x c) pertenece al plano formado por b y c.b x cb x caacca x (b x c)bb
4. El tripleproducto vectorial En rigor Mientras que las componentes de están dadas por La i – ésima componente de está dada por Comparando cuidadosamente componente a componente, se observa que la igualdad se cumple.
5. Demostración de la identidad de Jacobi Utilizando la caracterización del triple producto vectorial, tenemos que Sumando estas tres igualdades y considerando que el producto punto es conmutativo,se tiene la igualdad de Jacobi.











TRIPLE PRODUCTO VECTORIAL
DEFINICIÓN:
Llamamos doble producto vectorial (o también triple producto vectorial) de tres vectores a la expresión  o  ; esto es, al producto vectorial de dos vectores que se multiplica vectorialmente por un tercer vector.

Los triples productos aparecen cuando se desea definir multiplicaciones entre tresvectores. Una expresión de la forma  no tiene mucho sentido porque el resultado del primer producto es un escalar

y no es posible calcular el producto punto entre un número (escalar) y un vector.
Sin embargo, cuando los vectores son elementos de , podemos combinar el producto punto con el producto cruz para definir una nueva operación entre tres vectores, que se denomina producto mixto pues elresultado será una cantidad escalar.

El producto mixto de los vectores  se denota por  y está definido como


DIRECCIONES Y PLANOS CRISTALOGRÁFICOS
Al hablar de materiales cristalinos, a menudo es conveniente especificar algún plano cristalográfico particular de átomos o alguna dirección cristalográfica. Convencionalmente se ha establecido que para designar las direcciones y planos se utilicentres índices enteros. Los valores de los índices se determinan basándose en un sistema de coordenadas cuyo origen está situado en un vértice de la celdilla unitaria y cuyos ejes (x,y,z) coinciden con las aristas de la celdilla unitaria. (b). En los sistemas cristalinos hexagonal, romboédrico y triclínico, los tres ejes no son perpendiculares entre sí, como ocurre en el familiar sistema de...