Triple producto vectorial

EL PRODUCTO VECTORIAL
Juan Francisco Gonz´lez Hern´ndez
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Resumen
Se desarrolla una exposici´n hist´rica del origen de la operaci´n que
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llamamos producto vectorial, destac´ndose los problemas y conceptos maa
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tem´ticos que llevaron a su introducci´n en el Algebra. Se incluye una
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descripci´n de las m´s destacadas y representativas aplicaciones de este
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aproducto en F´
ısica y Matem´ticas, as´ como una visi´n general de las
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diferentes alternativas para generalizar este producto a espacios de m´s
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dimensiones. Finalmente, se discute acerca de la mejor manera de introducir este concepto a nivel te´rico y pr´ctico en los ultimos cursos de
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la E.S.O. y en Bachillerato, destac´ndose algunos puntos pedag´gicos y
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did´cticos quepueden ser de inter´s pr´ctico.
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Indice
1. Introducci´n
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2. Historia y desarrollo del producto vectorial
2.1. W. R.Hamilton: complejos, cuaternios y vectores
2.2. Grassmann y el c´lculo de extensiones . . . . . .
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2.3. Gibbs, Heaviside y el an´lisis vectorial . . . . . .
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2.4. William K. Clifford . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5. Una s´
ıntesis moderna delproducto vectorial . . .
2.5.1. Definici´n . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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2.5.2. Ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5.3. Propiedades interesantes . . . . . . . . . .
2.5.4. Matrices, SO(3) y producto vectorial . . .
2.5.5. Notaci´n tensorial y producto vectorial .
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2.5.6. Vectores axiales y quiralidad . . . . . . .

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3. Aplicaciones del producto vectorial
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3.1. Aplicaciones en Matem´ticas . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 15
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3.1.1. C´lculo de ´reas y vol´menes . . . . . . . . . . . . . . . . 15
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3.1.2. Teorema de Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
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3.1.3. Algebras de Lie y producto vectorial . . . . . . . . . . . . 16
3.1.4. M´todo de Cayley-Dickson, semioctavas, octavas y Matrie
ces de Zorn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
3.1.5.Otras utilidades matem´ticas . . . . . . . . . . . . . . . . 18
a
3.2. Aplicaciones en la F´
ısica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
* k:

jfgh.teorfizikisto@gmail.com
http://thespectrumofriemannium.wordpress.com/

** URL:

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3.2.1.
3.2.2.
3.2.3.
3.2.4.
3.2.5.
3.2.6.
3.2.7.
3.2.8.

Momento angular y torque . . . . . . . .
Vector de Laplace-Runge-Lenz . . . . ..
Sistemas de referencia no inerciales . . . .
Redes de Bravais . . . . . . . . . . . . . .
Expresi´n de la fuerza de Lorentz y vector
o
Ley de Biot-Savart . . . . . . . . . . . . .
Ecuaciones de Maxwell . . . . . . . . . . .
Rotacional y vorticidad . . . . . . . . . .

4. Generalizaciones
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4.1. Algebras normadas en D=1, 2, 4, 8 . . . . . . . .
4.1.1. Las ´lgebras con divisi´n K = R,C, H, O .
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4.1.2. A × B s´lo existe en D = 0, 1, 3, 7 . . . .
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4.2. Producto exterior y Algebra de Grassmann . . .
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4.2.1. Algebra de Grassmann para principiantes
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4.2.2. Algebras de Grassmann en serio. . . . . .
4.3. Forma de volumen y dual de Hodge . . . . . . .
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4.4. Algebras de Clifford (Algebra geom´trica) . . . .
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5. Pedagog´ y Did´ctica
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5.1. La regla deltornillo y del sacacorchos . . . . .
5.2. La regla de la mano derecha . . . . . . . . . . .
5.3. La t´cnica e intuici´n algebraicas . . . . . . . .
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5.4. Problemas comunes de tipo did´ctico y recursos
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de Poynting
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