Triángulos

Triángulos

1 Construcción de Triángulos:
Para construir triángulos es preciso conocer tres de sus elementos:

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2 Definición 1:
Dados en un plano tres puntos A, B y C no alineados, se llama triángulo [pic] a la intersección de los ángulos convexos [pic] , [pic] y [pic].
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Definición 2:
Dados en un plano tres puntos A, B y C no alineados, se llamatriángulo [pic] a la intersección del semiplano de borde [pic] que contiene al punto C, el semiplano [pic] que contiene al punto A y el semiplano [pic]que contiene al punto B.
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3 Clasificación de triángulos:

3.1 Según sus lados

ω Equilátero: tres lados iguales
ω Isósceles: dos lados iguales.
ω Escaleno: tres lados desiguales.
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3.2 Según sus ángulosω Acutángulo: tres ángulos agudos
ω Rectángulo: un ángulo recto
ω Obtusángulo: un ángulo obtuso
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4 Igualdad de triángulos:
Dos triángulos son congruentes cuando tienen todos sus lados y ángulos respectivamente congruentes.
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Sólo es necesario verificar que ciertos elementos sean congruentes para que dos triángulos sean iguales, por lo que se definen 4 criterios de igualdad detriángulos. A partir de los criterios de igualdad anteriores derivan los criterios de igualdad de triángulos rectángulos.
La igualdad de triángulos cumple las propiedades reflexiva, simétrica y transitiva.


4.1 Propiedades de la igualdad de triángulos:
ω Carácter reflexivo: Todo triángulo es igual a si mismo.
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ω Carácter simétrico: Si un triángulo es igual a otro, éste es igual aprimero.
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ω Carácter transitivo: Si un triángulo es igual a otro y éste es igual a un tercero, el primero es igual al tercero.
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4.2 Criterios de igualdad de triángulos
ω Primer criterio: Dos triángulos que tienen dos lados y el ángulo comprendido respectivamente iguales, son iguales.
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ω Segundo criterio: Dos triángulos que tienen dos ángulos y un ladorespectivamente iguales, son iguales.
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ω Tercer criterio: Dos triángulos que tienen sus tres lados respectivamente iguales, son iguales.
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ω Cuarto criterio: Dos triángulos que tienen dos lados y el ángulo opuesto al lado mayor respectivamente iguales, son iguales.
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Criterios de igualdad de triángulos rectángulos
ω Primer criterio: Dos triángulos rectángulos quetienen sus catetos respectivamente iguales, son iguales.
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ω Segundo criterio: Dos triángulos rectángulos que tienen un ángulo agudo y un cateto respectivamente iguales, son iguales.
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ω Tercer criterio: Dos triángulos que tienen un cateto y la hipotenusa respectivamente iguales, son iguales.
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ω Cuarto criterio: Dos triángulos rectángulos que tienen un ánguloagudo y la hipotenusa respectivamente iguales, son iguales.
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5 Propiedad de la suma de los ángulos interiores de un triángulo:

Teorema:

La suma de los ángulos interiores de un triángulo es igual a 180º.
Disponiendo los ángulos del triángulo en forma consecutiva se obtiene un ángulo llano.
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Corolarios:
ω En todo triángulo, cada ángulo es igual a 180º menos la suma de losotros dos ángulos.
ω Si en un triángulo un ángulo es rectángulo u obtuso, los dos ángulos restantes son agudos.
ω Si dos triángulos tienen dos ángulos iguales, los terceros también son iguales.
 
Propiedad del ángulo exterior
Teorema:
Todo ángulo exterior de un triángulo es igual a la suma de los dos ángulos interiores no adyacentes.
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Corolario:

ω En todotriángulo, cada ángulo exterior es mayor que cualquiera de los ángulos interiores.


5.1 Teorema de los ángulos interiores:
Hipótesis
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Tesis
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Demostración
Se traza por C una recta paralela al lado [pic] , quedando determinados los ángulos [pic] y [pic].
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De lo anterior:
[pic] = [pic] por ser alternos internos entre r // AB y secante [pic]
[pic] = [pic] por ser...