Troquel

Producto punto y norma
El producto punto (o escalar) es una operación entre vectores que devuelve un escalar. Esta operación es introducida para expresar algebraicamente la idea geométrica demagnitud.

  |  Definición 1 |

| Consideremos los vectores y . El producto punto (o escalar) se define de la siguiente manera   |

 
EJEMPLO 1  

i.) Sean y entonces

ii.) Sea entoncesDe aquí se deduce que

 
Propiedades del producto punto
 
  |  TEOREMA 1 |

| Consideremos los vectores y entonces 1. 2. 3. 4. |

Observación: no hay propiedadasociativa pues no tiene sentido dado que es un número real.
Producto Cruz en
El producto cruz entre dos vectores de se define de la siguiente manera

  |  Definición 7 |

| Consideremos losvectores y . El producto cruz se define de la siguiente manera |
 

Figura 18.
[Ver en 3D]
 

Recordemos que , entonces también podríamos escribir

Esta fórmula se puede escribir en la forma deun determinante como sigue

El producto cruz es un vector que es tanto perpendicular a como a .

En general, con las propiedades que vamos a establecer para este producto cruz, solamente seríaposible definirlo en y . El vector se puede ver como la dirección de una recta que sirve de eje de rotación única, perpendicular a y a . En dos dimensiones no existe una tal dirección perpendicular a ya . En cuatro o más dimensiones, esta dirección es ambigua. Una generalización, en cierto sentido, del producto cruz a dimensiones es el producto exterior del algebra multilineal. El productoexterior tiene magnitud pero no es un vector ni un escalar, es una área dirigida o "bivector" [6], [7]. Este producto también comparte la propiedad
EJEMPLO 8  

Sean y entonces

 

Figura 19.
 Propiedades del producto cruz

  |  TEOREMA 4 |

|    Consideremos los vectores y , entonces 1.   2. 3. (igualdad d Lagrange) 4. 5. 6. 7. 8. 9. |

Observe que...