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La teoría de conjuntos es una rama de las matemáticas que estudia las propiedades de los conjuntos: colecciones abstractas de objetos, consideradas como objetos en sí mismas. Los conjuntos y susoperaciones más elementales son una herramienta básica en la formulación de cualquier teoría matemática.1
Sin embargo, la teoría de los conjuntos es lo suficientemente rica como para construir el restode objetos y estructuras de interés en matemáticas: números, funciones, figuras geométricas, ...; y junto con la lógica permite estudiar los fundamentos de esta. En la actualidad se acepta que elconjunto de axiomas de la teoría de Zermelo-Fraenkel es suficiente para desarrollar toda la matemática.
Además, la propia teoría de conjuntos es objeto de estudio per se, no sólo como herramientaauxiliar, en particular las propiedades y relaciones de los conjuntos infinitos. En esta disciplina es habitual que se presenten casos de propiedades indemostrables o contradictorias, como la hipótesis delcontinuo o la existencia de un cardinal inaccesible. Por esta razón, sus razonamientos y técnicas se apoyan en gran medida en la lógica matemática.
El desarrollo histórico de la teoría de conjuntos seatribuye a Georg Cantor, que comenzó a investigar cuestiones conjuntistas «puras» en la segunda mitad del siglo XIX, precedido por algunas ideas de Bernhard Bolzano e influenciado por RichardDedekind. El descubrimiento de las paradojas de la teoría cantoriana de conjuntos propició los trabajos de Bertrand Russell, Ernst Zermelo, Abraham Fraenkel y otros a principios del siglo XX.
Teoría deconjuntos y elementos
Al escribir , estamos diciendo que los elementos del conjunto son los números 1, 2, 3 y 4. Un grupo de elementos de sería, por ejemplo, , el cual es un subconjunto de .
Loselementos pueden ser conjuntos en sí mismos. Por ejemplo, consideremos el conjunto . Los elementos de no son 1, 2, 3, y 4; en efecto, tiene sólo tres elementos: 1, 2 y el conjunto .
Los elementos de un...