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Publicado: 11 de marzo de 2010
; quedando una fracción por lo que la factorización ya no es completa. Ejemplo 3: Descomponer en factores a(x+2y)−3(x+2y) En este ejemplo el factor común en (x+2y), ya que aparece en los términos que componen el polinomio, por tanto(x+2y)(a−3)=a(x+2y)−3(x+2y). 1
Factorización de un binomio cuadrado perfecto Para saber si el polinomio que tenemos lo podemos factorizar como binomio cuadrado perfecto, debemos basarnos en la definición que se dio en el tema anterior. Ejemplo 1: Factorizar a2−4ab+4b2 Obtenemos la raíz cuadrada del primer término: Raíz cuadrada del tercer término: Doble producto de las raíces del primer y tercer término:(2)(a)(2b)= 4ab Como podemos observar el doble producto de la multiplicación de las raíces es igual al segundo término; por lo que se trata de un binomio cuadrado perfecto. Por lo tanto a2−4ab+4b2 podemos expresarlo como (a−2b)2. Ejemplo 2: Factorizar 36x2−18xy4+4y8 Obtenemos la raíz cuadrada del primer término: Raíz cuadrada del tercer término:
Doble producto de las raíces del primer y tercertérmino: (2)(6x)(2y4)=24y4x Como podemos observar el polinomio no es un binomio cuadrado perfecto, ya que el segundo término no es igual. Diferencia de cuadrados Regla: Se extrae la raíz cuadrada al minuendo y al sustraendo y se multiplica la suma de estas raíces por la diferencia de la raíz del minuendo y la del sustraendo. Ejemplo 1: Factorizar 1−a2 Realizando los pasos que se mencionan en la regla,tenemos: Raíz cuadrada del minuendo: Raíz cuadrada del sustraendo: Multiplicamos la suma de estas raíces (1+a) por la diferencia de la raíz del minuendo y del sustraendo (1−a). Por lo tanto: 1−a2=(1+a)(1−a)
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Ejemplo 2: Factorizar 16x2−25y4 Raíz cuadrada del minuendo: Raíz cuadrada del sustraendo:
Multiplicamos la suma de estas raíces (4x+5y2) por la diferencia de la raíz del minuendo y delsustraendo (4x−5y2). Por lo tanto: 16x2−25y4 =(4x+5y2)( 4x−5y2)
Factorización de trinomios Recordemos que el cuadrado de la diferencia de dos cantidades es de la forma (a−b)2 =(a−b)(a−b)=a2−2ab+b2, para poder factorizar un polinomio que presenta esta forma, veamos el siguiente ejemplo. Ejemplo 1: Factorizar x2+2x−15 En primer lugar sabemos que vamos a tener dos binomios, en el primer de ellosse pone signo positivo, porque 2x tiene signo +. En el segundo se pone signo negativo, porque multiplicando el signo de +2x por el signo de −15, tenemos que + por − da −. Una vez hecha esta aclaración, realizamos los siguientes pasos: Obtenemos la raíz cuadrada del primer término: Como los binomios tienen signo distinto, buscamos dos números cuya diferencia sea 2 y cuyo producto sea 15...
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