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Unidad 1 Matrices. Cálculo con matrices
1.- Definiciones 2.- Operaciones con matrices. 2.1.- Suma. Propiedades. 2.2.- Producto por escalar. Propiedades. 2.3.- Producto. Propiedades. 3.- Matriz traspuesta. Propiedades. 4. Inversa de una matriz. Definición y obtención por el método de Gauss. 5.- Problemas propuestos en las PAU.

1. Definiciones
Una matriz de números reales de orden dispuestosen forma de una tabla rectangular siguiente forma:  a11 a12   a21 a22  ... ...   am1 am 2 es un conjunto de elementos de de m filas por n columnas, es decir, de la

... a1n   ... a2 n  ... ...   ... amn 

El primero (segundo) de los subíndices indica la fila (columna) a la que pertenece el elemento. Otra forma de expresar una matriz será mediante una letra mayúscula o bien de laforma: ( aij ) . Cuando no haga falta indicar el orden, se empleará simplemente la
m×n

notación

. es una matriz de orden , el elemento 3 esta en

Ejemplo 1: La matriz  1 2 0 

3 1 4  

la segunda fila y primera columna.

1

-Si la matriz se llama cuadrada y su orden es el número de filas (columnas). En particular una matriz cuadrada de orden 1 es un elemento de . -La matriz Aes una matriz fila si y es un número cualquiera. Su representación sería: . De forma semejante se define matriz columna. Su representación sería
.

-Una matriz es horizontal (vertical) si

(

).

-Dos matrices se denominan iguales si además de coincidir en el número de filas y de columnas, respectivamente, coinciden los elementos de que ocupan posiciones iguales. -Dada una matriz cuadradaA de orden n, los elementos de la forma se denominan diagonal principal, mientras que los de la forma constituyen la diagonal secundaria.

Diagonal principal

Diagonal secundaria

-Se dice que una matriz es triangular superior (inferior) si todos los elementos situados debajo (arriba) de la diagonal principal son nulos.

matriz es triangular superior

matriz es triangular superior2.- Operaciones con matrices.2.1.- Suma de matrices.-Dadas las matrices y las matrices A y B a la matriz del mismo orden, llamaremos matriz suma de , es decir, para sumar dos matrices

1.- Los dos sumandos tienen que tener el mismo orden. 2.- Cada elemento de la matriz suma se obtiene sumando los elementos de los sumandos que están en esa posición. Ejemplo: + = Propiedades: En la definición seobserva que sumar matrices no es más que sumar elementos de un determinado cuerpo respetando el orden, por lo que las propiedades de la
2

suma de matrices serán las mismas que las de la suma en de orden tendrá las siguientes propiedades:

, es decir, la suma de matrices

1. Asociativa. 2. Elemento neutro (la matriz de orden con todos los elementos nulos). ). 3. Elemento simétrico (elsimétrico de la matriz será 4. Conmutativa. Ejemplo.-

3 5  3 − 1     Calcular una matriu C que verifique 2A + 3B − C = 0, siendo A =  1 4  ; B =  2 5  6 2 6 3     
Solución.-.

 15 7    C =  8 23   30 13   

2.2 Producto de matriz por escalar.Si p es un número real y A = , se define el producto del número p por la matriz A y los representamos por pA a la matriz , esdecir, pA es una matriz de orden cuyos elementos son los respectivos de A multiplicados por p.

Ejemplo.2 =

Propiedades: 1. Distributiva respecto a la suma de números: (p+q) A = pA + qA. 2. Distributiva respecto a la suma de matrices: p(A + B)= pA + pB. 3. Asociativa respecto al producto de números: p(qA) = (pq)A. 4. 1A = A.

3

0, Ejemplo. Calcular una matriz C que verifique 2 A + 3B − C=siendo

3 5  3 −1     A = 1 4 ; B =  2 5  . 6 2 6 3     
Solución. Por ser 2 A + 3B − C =0 ⇒ 2 A + 3B =C , se tiene

 3 5   3 −1  15 7        C =  1 4  + 3  2 5  = 8 23  2   6 2   6 3   30 13       

2.3 Producto de matrices Dadas las matrices producto de orden

de orden

y

, de orden

, el

se define de la siguiente manera:...