Tu Propia Calculadora de Raíces Cuadradas

Métodos Numéricos 1
Práctica 1: Tu Propia Calculadora de Raíces Cuadradas
23 de agosto de 2010

1.

Planteamiento del Problema

Se desea implementar un método recursivo, con el apoyo de algún lenguaje de programación, que proporcione una aproximación a la raíz cuadrada de un número real no negativo
n, con un margen de error ε dado que se comparará con el error absoluto de los valoresobtenidos en las iteraciones. Para ello, se usará el método recursivo babilónico para hallar
raíces cuadradas.

2.

Marco Teórico
Al considerar la ecuación cuadrática

x2 − n = 0
√
se observa que una de sus soluciones es x = n, pues
√
( n)2 − n = n − n = 0,

(1)

así que encontrar una aproximación a la raíz cuadrada de n se traduce a encontrar una
aproximación a la solución de laecuación (1).
Sea c1 1 un número real positivo. Si x = c1 satisface (1), entonces c1 es la raíz cuadrada
de n y el algoritmo termina; si no ocurre eso, entonces se va a considerar otro número c2
cuyo valor esté dado por
n
(2)
c2 = .
c1
La ecuación (2) siempre tendrá sentido, puesto que c1 > 0. De aquí se puede notar que
√
√
si c1 > n entonces c2 < n, pues de lo contrario se tendría quec1 · c2 > n
1

La “c” se refiere a “cota”, pues ese número será ya sea cota superior o cota inferior del intervalo que
√
contenga al valor aproximado de n.

1

√
√
contradiciendo a (2). Análogamente, si c1 < n entonces c2 > n. Con esto se deduce
que la raíz cuadrada de n estará entre los valores c1 y c2 .
Si c2 satisface (1), entonces c2 es la raíz cuadrada de n y el algoritmo termina.Si no
ocurre eso, entonces se considera la media aritmética de c1 y c2 , que será el nuevo valor de
c1 , denotado provisionalmente como c1 :
c1 =

c1 + c2
,
2

(3)

c1 := c1 .
Este nuevo valor de c1 estará entre el valor anterior de c1 y el valor de c2 . Si el valor
obtenido de c1 mediante (3) satisface (1), entonces se encuentra la raíz cuadrada de n y el
algoritmo termina. Si noocurre eso, se procede a obtener un nuevo valor de c2 aplicando
(2) con el nuevo valor de c1 . Nuevamente, la raíz de n estará entre los valores obtenidos de
c1 y c2 .
Al proceder con este algoritmo, se ve que los intervalos que contienen a la raíz cuadrada
de n comprendidos por los valores respectivos de c1 y c2 se van haciendo más pequeños,
con lo que con un número suficiente de iteraciones(controlado por el margen de error ε)
es posible llegar a una aproximación aceptable de la raíz cuadrada de n, que será alguno de
los valores c1 o c2 2 .

3.

Resultados

A continuación, se mostrarán tablas con los resultados obtenidos mediante el algoritmo
que se implementó, usando Matllab, aplicado a varios valores. Primero, se mostrarán los
resultados con las condiciones inicialesconstantes (el valor inicial c1 y el margen de error ε),
mientras n varía. Posteriormente, se mostrarán las tablas con los respectivos valores de n
mostrados en las tablas anteriores, modificando solamente el valor inicial c1 . Finalmente, se
mostrarán las tablas con los valores respectivos de n y un valor fijo de c1 mientras se cambia
el margen de error ε. Después de mostrar las tablas, se dará unanálisis de los resultados
obtenidos.

2

De hecho, cuando c1 tiende a

√

n también lo hace c2 , y esto es claro por la ecuación (2).

2

3.1.

Tablas de Resultados
|c2 − n|
1

c2

|c2 − n|
2

1.00000000 1.00000000
1.50000000 0.25000000
1.41666667 0.00694444
1.41421569 0.00000601
1.41421356 0.00000000
√
Valor real de n: 1.41421356...

2.00000000
1.333333331.41176471
1.41421144
1.41421356

2.00000000
0.22222222
0.00692042
0.00000601
0.00000000

Iteración

c1

0
1
2
3
4

Tabla 1: Algoritmo aplicado a n = 2 con condiciones iniciales c1 = 1, ε = 1 × 10−9 .
c1

|c2 − n|
1

c2

|c2 − n|
2

1.00000000
0.50245000
0.25610111
0.13761709
0.08661157
0.07159300
0.07001772
0.07000000
√
Valor real de n: 0.07

0.99510000...