Tu Tiaabuela Pepa

Matemáticas II

Junio 2012

PROBLEMA B.3. Para diseñar un escudo se dibuja un triángulo T de vértices A = (0, 12),
B = (– x, x2) y C = (x, x2), siendo x2 < 12.
Obtener razonadamente:
a)
El área deltriángulo T en función de la abscisa x del vértice C. (2 puntos).
b)
Las coordenadas de los vértices B y C para que el área del triángulo T sea máxima.
(3 puntos).
Para completar el escudo se añade altriángulo T de área máxima la superficie S limitada entre la
recta y = 4 y el arco de parábola y = x2, cuando – 2 ≤ x ≤ 2.
Obtener razonadamente:
c)
El área de la superficie S. (3 puntos).
d)
El áreatotal del escudo. (2 puntos).
Solución:
a) El triángulo T tiene de vértices los puntos A ( 0 , 12 ), B ( – x , x2 ) y C ( x , x2 ), siendo x2 < 12.
El triángulo T tiene de base 2 x y de altura 12 –x2.
Luego su área será,
2 x 12 − x 2
AT ( x) =
= x 12 − x 2 = 12 x − x 3
2
Por definición de los vértices B y C del triángulo T y como
debe cumplirse que x2 < 12, Dom AT ( x) = 0 , 12

Gráficamenteserá:

(

)(

)

(

(

Es decir: AT ( x) = 12 x − x 3 , Dom AT ( x) = 0 , 12

)

)

b) El área del triángulo T debe ser máxima.
′
AT ( x) = 12 − 3 x 2

12 − 3 x 2 = 0
12 = 3 x 2
12
x2 =
=4
3
x = ±2

(

)Pero como Dom AT ( x) = 0 , 12 , x = 2. Determinemos qué tipo de extremo es.
′
′
AT′ ( x) = −6 x → AT′ (2) = −6 . 2 = −12 < 0 , luego en x = 2 hay un máximo relativo.
Estudiemos la monotonía de AT(x)para comprobar que es el máximo absoluto.
′
AT (1) = 12 − 3 . 12 = 9 > 0 creciente

′
AT (3) = 12 − 3 . 32 = −15 < 0 decreciente
Como a la izquierda de x = 2 AT(x) es creciente y a la derechadecreciente, el máximo relativo es el absoluto.
Luego, el área del triángulo T es máxima para x = 2.
Y finalmente, los vértices B y C para que el área del triángulo T sea máxima son B ( – 2 , 4 ) y C ( 2 , 4).

El escudo completo será:

c) Área de la superficie S
La recta que pasa por los puntos B y C es y = 4. Por lo tanto la superficie S está limitada por las funciones
y = 4 e y = x2 para – 2 ≤ x ≤...