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3

Trigonometría
ACTIVIDADES INICIALES

3.I. En una recta r hay tres puntos: A, B y C, que distan, sucesivamente, 2 y 5 cm. Por esos puntos se trazan rectas paralelas que cortan otra, s, en M, N y P.
Si el segmento MN mide 8 cm, ¿cuál es la distancia entre los puntos N y P?
Por el teorema de Tales, los segmentos correspondientes en ambas rectas son proporcionales.
AB
BC2
5
ᎏᎏ ϭ ᎏᎏ ⇒ ᎏᎏ ϭ ᎏᎏ ⇒ NP ϭ 20 cm
MN
NP
8
NP
3.II. Calcula las medidas de los elementos que faltan en el triángulo rectángulo de
la derecha.

A
1 cm

Los ángulos del triángulo miden 90Њ, 60Њ y 30Њ.
El cateto que falta mide

22 Ϫ ෆ
͙ෆ12

ϭ

ෆ
͙3

cm.

60°
C

2 cm

B

EJERCICIOS PROPUESTOS
3.1. Expresa las siguientes medidas de ángulos en radianes.
a) 30؇

b)60؇

c) 330؇

d) 200؇

␲
30
1
␲
a) 30Њ ϭ 30 и ᎏᎏ ϭ ᎏᎏ ␲ ϭ ᎏᎏ ␲ ϭ ᎏᎏ rad
180
180
6
6

␲
330
11
11␲
c) 330Њ ϭ 330 и ᎏᎏ ϭ ᎏᎏ ␲ ϭ ᎏᎏ ␲ ϭ ᎏᎏ rad
180
180
6
6

␲
60
1
␲
b) 60Њ ϭ 60 и ᎏᎏ ϭ ᎏᎏ ␲ ϭ ᎏᎏ ␲ ϭ ᎏᎏ rad
180
180
3
3

␲
200
10
10␲
d) 200Њ ϭ 200 и ᎏᎏ ϭ ᎏᎏ ␲ ϭ ᎏᎏ ␲ ϭ ᎏᎏ rad
180
180
9
9

3.2. ¿Cuánto mide en grados sexagesimales un ángulo de 1 rad? Aproxima elresultado con grados, minutos y
segundos.
180Њ
1 rad ϭ 1 и ᎏᎏ ഠ 57Њ 17Ј 45Љ
␲
3.3. Halla la medida en grados de los siguientes ángulos expresados en radianes.
7␲
a) —— rad
3

3␲
b) —— rad
2

c) 4 rad

d) 4␲ rad

7␲
7␲ 180Њ
7 и 180Њ
a) ᎏᎏ rad ϭ ᎏᎏ и ᎏᎏ ϭ ᎏᎏ ϭ 420Њ
3
3
␲
3

180Њ
c) 4 rad ϭ 4 и ᎏᎏ ഠ 229Њ 11Ј
␲

3␲
3␲ 180Њ
3 и 180
b) ᎏᎏ rad ϭ ᎏᎏ и ᎏᎏ ϭ ᎏᎏ ϭ 270Њ
2
2␲
2

180Њ
d) 4␲ rad ϭ 4␲ и ᎏᎏ ϭ 720Њ
␲

3.4. Calcula las razones trigonométricas de los ángulos agudos de estos triángulos.
p
a) A ‫ ,؇09 ؍‬b ‫ 01 ؍‬cm, c ‫ 21 ؍‬cm
a) a ϭ

ෆ 122
͙102 ϩෆ

ϭ

ෆ
͙244

ϭ 2͙61
ෆ

p
b) B ‫ ,؇09 ؍‬b ‫ 51 ؍‬cm, c ‫ 21 ؍‬cm

b
10
61
5͙ෆ
p
sen B ϭ ᎏᎏ ϭ ᎏ ϭ ᎏᎏ
61
a
2͙61
ෆ

c
12
6͙ෆ
61
p
cos B ϭ ᎏᎏ ϭ ᎏᎏ ϭ ᎏᎏ
a
61
2͙ෆ
61

b10
5
p
tg B ϭ ᎏᎏ ϭ ᎏᎏ ϭ ᎏᎏ
c
12
6

c
6͙ෆ
61
p
sen C ϭ ᎏᎏ ϭ ᎏᎏ
a
61

b
5͙ෆ
61
p
cos C ϭ ᎏᎏ ϭ ᎏᎏ
a
61

c
12
6
p
tg C ϭ ᎏᎏ ϭ ᎏᎏ ϭ ᎏᎏ
b
10
5

3
a
9
p
sen A ϭ ᎏᎏ ϭ ᎏᎏ ϭ ᎏᎏ
5
b
15

12
4
c
p
cos A ϭ ᎏᎏ ϭ ᎏᎏ ϭ ᎏᎏ
15
5
b

3
a
9
p
tg A ϭ ᎏᎏ ϭ ᎏᎏ ϭ ᎏᎏ
4
c
12

c
4
p
sen C ϭ ᎏᎏ ϭ ᎏᎏ
b
5

a
3
p
cos C ϭ ᎏᎏ ϭ ᎏᎏ
b
5

c
12
4
p
tg C ϭ ᎏᎏ ϭᎏᎏ ϭ ᎏᎏ
a
9
3

b) a ϭ

ෆ 122
͙152 Ϫෆ

ϭ 9

3.5. Calcula la cosecante, la secante y la cotangente del ángulo de menor amplitud del triángulo rectángulo cuyos catetos miden 5 y 10 centímetros, respectivamente.
Hipotenusa: a ϭ

52 ϩ 102
͙ෆෆ

5͙ෆ
5
cosec α ϭ ᎏᎏ ϭ
5

ϭ 5͙5 cm.
ෆ

El ángulo de menor amplitud es el opuesto al cateto menor, por tanto:
5͙ෆ
5
5
͙ෆ
sec α ϭ ᎏᎏϭ ᎏᎏ
10
2

ෆ
͙5

10
cotg α ϭ ᎏᎏ ϭ 2
5

3.6. Calcula las razones trigonométricas de 30؇ y de 60؇. Para ello, toma un triángulo equilátero de lado a y divídelo en dos por una de sus alturas.
60Њ
Al ser un triángulo equilátero, sus tres ángulos deben medir 60Њ cada uno. Por tanto: α ϭ ᎏᎏ ϭ 30Њ ; ␤ ϭ 60Њ
2
x͙3
ෆ
x
3
Ϫ ᎏ΃
Ίx๶΂ᎏ๶ ϭ Ίᎏ4xᎏ ϭ ᎏ2ᎏ
๶
2
2

Aplicando el teorema dePitágoras, se puede calcular el valor de la altura: altura ϭ
x
ᎏᎏ
2
1
sen 30Њ ϭ ᎏ ϭ ᎏᎏ
x
2

x͙3
ෆ
ᎏᎏ
3
2
͙ෆ
sen 60Њ ϭ ᎏ ϭ ᎏᎏ
2
x

x͙3
ෆ
ᎏᎏ
3
2
͙ෆ
cos 30Њ ϭ ᎏ ϭ ᎏᎏ
2
x

x
ᎏᎏ
1
2
cos 60Њ ϭ ᎏ ϭ ᎏᎏ
x
2

x
ᎏᎏ
ෆ
2
1
͙3
tg 30Њ ϭ ᎏ ϭ ᎏᎏ ϭ ᎏᎏ
3
3
ෆ
͙
x͙3
ෆ
ᎏᎏ
2

x͙3
ෆ
ᎏᎏ
2
tg 60Њ ϭ ᎏ ϭ
x
ᎏᎏ
2

2

2

␣
x

␤
x
_
2

ෆ
͙3

3.7. Indica elsigno de todas las razones trigonométricas de los siguientes ángulos.
a) 120؇

c) 256؇

e) 315؇

g) 55؇

b) ؊70؇

d) 800؇

f) 1200؇

h) ؊460؇

␣

120؇

؊70؇

256؇

800؇

315؇

1200؇

55؇

–480؇

Cuadrante

II

IV

III

I

IV

II

I

III

sen ␣ y cosec ␣

؉

—

—

؉

—

؉

؉

—

cos ␣ y sec ␣

—

؉

—

؉

؉

—...