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Segundo lapso



Vectores y sus elementos

En Matemáticas se define un vector como un elemento de un espacio vectorial, esta noción es más abstracta y para muchos espacios vectoriales no es posible representar sus vectores mediante el módulo, la longitud y la orientación. En particular los espacios de dimensión infinita sin producto escalar no son representables de ese modo. Los vectores en unespacio elucídelo se pueden representar geométricamente como segmentos de recta dirigidos («flechas») en el plano o en el espacio.

Elementos de un Vector

1. Dirección:
Determinada por la recta de soporte y puede ser vertical, horizontal e inclinada u oblicua.
2. Orientación: o sentido
Determinado por la flecha y puede ser horizontal hacia la derecha o hacia la izquierda, vertical haciaarriba o hacia abajo e inclinada ascendente o descendente hacia la derecha o hacia la izquierda.
3. Punto de aplicación
Determinado por el punto origen del segmento que forma el vector.
4. La longitud o módulo
Es el número positivo que representa la longitud del vector.




Representación de Vectores en el plano

Hasta hoy hemos manejado exclusivamente sistemas de coordenadas en dos dimensiones,por lo que ahora se introducirá unos sistemas de coordenadas en tres dimensiones.
Para extender el concepto de dos a tres dimensiones introduciremos un sistema de coordenadas tridimensional, colocando un eje z perpendicular en el origen a los ejes x e y como se muestra en la siguiente figura.

Para poder representar un punto en el espacio se requiere de un Trío ordenado de Números que contengaun valor tanto para X, para Y como para Z.
Vectores equipolentes

Dos o más vectores son equipolentes cuando las magnitudes físicas que representan tienen el mismo valor y producen los mismos efectos.
En general, para que dos o más vectores sean equipolentes no basta que tengan el mismo módulo, dirección y sentido.
Las condiciones de equipolencia, más o menos restrictivas, permitenclasificar las magnitudes vectoriales en tres clases o categorías.

Adición de Vectores

Para sumar dos vectores libres (vector y vector) se escogen como representantes dos vectores tales que el extremo final de uno coincida con el extremo origen del otro vector.
Ejemplo: (método del paralelogramo)


Propiedades

Conmutatividad: sean a y b dos elementos de V2, vamos a determinar los vectores:
a + b =b + a
Podemos verificar que los vectores obtenidos a + b y b + a son equipolentes, luego:
a + b = b + a
Como esto lo hemos hecho para dos vectores arbitrarios de V2, podemos generalizar diciendo que la adición de vectores en V2 es “conmutativa”.
Luego, como (V2, +) es un grupo y la adición es conmutativa, podemos afirmar que,
(V2, +) es un grupo conmutativo o grupo abeliano.
Asociativa:consideremos tres vectores cualesquiera a, b, c, de V2 , queremos efectuar la suma de ellos. Dicha suma la podemos determinar de dos maneras;
Una Manera u Otra
Efectuamos a + b Efectuamos b + a
Le sumamos c a a + b Le sumamos b + c a a
Conclusión: (a + b) + c = a + (b + c)
De esta manera se observa que los vectores obtenidos son equipolentes, es decir:
(a + b) + c = a + (b + c)
Luego, podemos concluir quela adición de vectores es asociativa.
Elemento Neutro: o vector nulo se debe a que su módulo es cero. Si el origen coincide con el extremo, la longitud del segmento orientado será igual a cero, el segmento se reduce a un punto y en realidad no puede hablarse con propiedad de un vector. En este caso la dirección y el sentido no están determinados.
El vector libre nulo será entonces la claseformada por todos los vectores que tienen modulo cero. Los elementos del vector libre nulo corresponden a puntos del plano. Al vector libre nulo, lo representamos por cero 0. Ejemplo:
Los puntos a, b, c, d, son algunos elementos del vector libre nulo.
Por todo lo dicho se deduce fácilmente que si a es un vector cualquiera de v2, entonces:
a + 0 = 0 + a = a
Elemento Simétrico: tiene igual dirección,...