tyjtjtyjetjy

PROGRAMACIÓ LINEAL
1-Un pastisser té 150 Kg de farina, 22 Kg de sucre i 26 Kg de mantega per fer
dos tipus de pastissos. Es necessiten 3 Kg de farina, 1 de sucre i 1 de mantega
per fer una dotzena de pastissos del tipus A, mentre que les quantitats per una
dotzena del tipus B són, respectivament , 6Kg, 0,5 Kg i 1 Kg. Si el benefici que
s’obté per la venda d’una dotzena de pastissos del tipusA és 20 i per una
dotzena de tipus B és 30, trobeu el nombre de dotzenes de pastissos de cada
tipus que s’ha de produir per maximitzar el seu benefici.
SOLUCIÓ: 2 dotzenes de tipus A i 24 dotzenes de tipus B

2-En un taller de confecció es disposa de 80 metres quadrats de tela de cotó i
de 120 metres quadrats de tela de llana. Es fan dos tipus de vestits, A i B. Per
fer un vestit del tipusA es necessita 1 metre quadrat de cotó i 3 metres
quadrats de llana ; en canvi, per un vistit del tipus B calen 2 metres quadrats de
cada tipus de tela.
a)Quants vestits de cada tipus s’ha de fer per obtenir un benefici total màxim si
per cada vestit (sigui del tipus que sigui) es guanyen 30 euros?
b)Quina seria la conclusió a la pregunta anterior si per cada vestit del tipus A es
guanyen30 euros i, en canvi, per cada un del tipus B només es guanyen 20
euros?

SOLUCIÓ:
a) Funció objectiu: F ( x, y ) = 30 x + 30 y
 x + 2 y ≤ 80
 3 x + 2 y ≤ 120

Restriccions: 
x≥ 0
 y ≥ 0

Regió solució:

Vèrtex de la regió: A( 0,40 ) , B ( 20,30 ) , C ( 40,0 ) , D( 0,0 )
Màxim de la funció en B( 20,30 ) → F ( 20,30 ) = 600 + 900 = 1500€
b) F ( x, y ) = 30 x + 20 y
El màximes trobaria en tots els punts del segent BC
3-Un entusiasta de la salut vol tenir un mínim de 36 unitats de vitamina A al dia,
28 de vitamina C i 32 unitats de vitamina D. Cada pastilla de la marca 1 costa
0,03€ i proporciona 2 unitats de vitamina A, 2 de C i 8 de D. Cada pastilla de la
marca 2 costa 0,04 € i proporciona 3 unitats de vitamina A, 2 de C i 2 de D.
Quantes pastilles de cadamarca haurà de comprar per a cada dia si vol cobrir
les necessitats bàsiques amb el menor cost possible?
SOLUCIÓ: 6 pastilles de la marca 1 i 8 patilles de la marca 2. El cost llavors és
de 0.50 € per dia.

2

4-En una prova es proposen 10 qüestions de 5 punts i 8 qüestions de 10 punts
i es dona un temps de 100 minuts. Només es valoren els encerts; els errors o
respostes en blanc no restenpuntuació.
L’Anna, que està capacitada per contestar correctament totes les qüestions,
necessita 4 minuts de mitjana per respondre a cada qüestió de 5 punts i 10
minuts per respondre a cada qüestió de 10 punts.
Quina estratègia ha de seguir l’Anna (és a dir, quantes preguntes de cada tipus
ha de contestar) per obtenir la millor puntuació possible en les seves
condicions?
SOLUCIÓ:
Funcióobjectiu: F ( x, y ) = 5 x + 10 y
x≥ 0
y≥ 0

 x ≤ 10
Restriccions: 
y≤ 8
 4 x + 10 y ≤ 100


Regió solució:

Vèrtex: A( 0,8) , B ( 5,8) , C (10,6 ) D(10,0 ) , E ( 0,0 )
Màxim en C (10,6)

F (10,6 ) = 50 + 60 = 110 punts

3

5-Determineu el sistema de quatre inequacions amb dues incògnites que té per
solució el polígon ombrejat dibuixat a la gràfica següent, suposantque els
costats també són solució.

SOLUCIÓ:
y ≥ 1; x ≥ 0;

y≤ x+ 2 i

x+ y≤ 6

6-Determineu el sistema de tres inequacions i dues incògnites que té per
solució el triangle assenyalat en la gràfica següent, suposant que els costats
del triangle també formen part de la solució.

SOLUCIÓ: y ≥ 1;

y≤ x i

x+ y ≤ 6

4

7-Dibuixeu la regió del pla determinada pel sistemad’inequacions següent:
x+ y ≤ 5
− x+ y ≤ 1


 x + 2y ≥ 2
 y ≥ 0
i calculeu el màxim de la funció f ( x, y ) = 2 x + 2 y en aquesta regió.
SOLUCIÓ:

El màxim s’assoleix en tot l’interval que està sobre la recta x + y = 5 entre els
punts C ( 5,0 ) i D( 2,3). El valor màxim és 10.

8-Sigui S la regió del pla de coordenades més grans o igual que zero i tal que
els seus punts compleixen...