técnica de conteo

TECNICAS DE CONTEO.
Las técnicas del conteo, también llamadas análisis combinatorio, permiten determinar el número total
de posibles resultados lógicos que cabe esperar al realizar algún experimento, sin tener que
enumerar cada uno de ellos.
Como sabemos un experimento es cualquier acto o acción que se realice o presente con el fin de
observar su resultado, como puede ser que el lanzamientode una moneda en el que hay dos
posibles resultados lógicos, águila o sol.
Un experimento un poco más complicado que éste, como puede ser el determinar cuantos arreglos
ordenados de tres letras que se puedan formar con las letras de la palabra REZA. Hacer el cálculo
enumerando cada una de las posibilidades es tedioso y cansado. Sin embargo aplicando las técnicas
de conteo, o análisiscombinatorio nos permite hacer el cálculo de una forma rápida y eficiente.
DEFINICIONES
Experimentos o fenómenos aleatorios son los que pueden dar lugar a varios resultados, sin que
pueda ser previsible enunciar con certeza cuál de éstos va a ser observado en la realización del
experimento.
Suceso aleatorio es un acontecimiento que ocurrirá o no, dependiendo del azar.
Espacio muestral es el conjuntoformado por todos los posibles resultados de un experimento
aleatorio. En adelante lo designaremos por S.
Ejemplos:
En un dado, S={1,2,3,4,5,6}

En una moneda, S={a,s}

Para empezar, vamos a prestar atención a experiencias aleatorias sencillas como lanzar dados o
monedas, extraer cartas de una baraja, sacar bolas de urnas,...
Ejercicio:
Describe el espacio muestral asociado a cada unode los siguientes experimentos aleatorios:
a.
b.
c.
d.

Lanzar tres monedas.
Lanzar tres dados y anotar la suma de los puntos obtenidos.
Extracción de dos bolas de una urna que contiene cuatro bolas blancas y tres negras.
El tiempo, con relación a la lluvia, que hará durante tres días consecutivos.

Solución:
a. Llamando C a obtener cara y X a la obtención de cruz, obtenemos elsiguiente espacio
muestral:
E={(CCC),(CCX),(CXC),(XCC),(CXX),(XCX),(XXC),(XXX)}
b. E={3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18}
c. Llamando B a sacar bola blanca y N a sacar bola negra, tenemos: E={BB,BN,NN}
d. Si llamamos L al día lluvioso y N al día sin lluvia, para tres días consecutivos se obtiene el
siguiente espacio muestral:
E={(LLL),(LLN),(LNL),(NLL),(LNN),(NLN),(NNL),(NNN)}

1DIAGRAMAS DE ARBOL.
Un diagrama de árbol es un mecanismo utilizado para enumerar todos los resultados posibles de una
secuencia de experimentos o eventos donde cada evento puede ocurrir en un número finito de
formas.
Ejemplo:

Un estudiante presenta un examen de preguntas de verdadero-falso. Dibujar el diagrama
de árbol para las tres primeras preguntas y escribir su espacio muestral.

Solución:Como el estudiante tiene dos opciones posibles para cada pregunta, V o F, el árbol
presenta 2 ramas en cada pregunta.

V

VVV

F

VVF

V

VFV

F

VFF

V

FVV

F

FVF

V

FFV

F

FFF

V

V
F

V
F

F

El espacio muestral de este evento es:
S={VVV, VVF, VFV, VFF, FVV, FVF, FFV, FFF}

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PRINCIPIOS BÁSICOS DE CONTEO
Hay dos principios básicos deconteo; principio de adición y principio de multiplicación.
Principio de adición
Supóngase que algún evento E puede ocurrir en m formas y un segundo evento F puede ocurrir en n
formas, y supóngase que ambos no pueden ocurrir en forma simultánea. Entonces E o F pueden
ocurrir en m + n formas.
Este principio expresado en términos de conjuntos es el siguiente:
Principio de adición: Supóngaseque A y B son conjuntos disjuntos o ajenos, Entonces :

n( A ∪ B ) = n( A) + n( B )
Este principio puede ampliarse a más de dos eventos, es decir, supóngase que un evento E1 puede
ocurrir en n1 formas, un segundo en evento E2 puede ocurrir en n2 formas, un tercer evento E3 puede
ocurrir en n3 formas y así sucesivamente, y supóngase que no hay dos eventos que puedan ocurrir al
mismo tiempo....