TÉCNICAS DE INTEGRACIÓN


TÉCNICAS DE INTEGRACIÓN
FORMULAS DE INTEGRACIÓN DIRECTA




donde










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REGLA DE LA CADENA PARA LA ANTIDERIVACIÓN
Sea una función diferenciable y sea el contradominio de algún intervalo . Suponga que es una función definida en y que es una antiderivada de en .
Entonces

INTEGRACIÓN POR DESCOMPOSICIÓN EN SUMANDOS
Como su nombre lo indica, estemétodo consiste en descomponer en sumandos la integral a resolver aplicando a continuación las siguientes propiedades:
1) La integral del producto de una constante por una función es igual al producto de la constante por la integral de la función

2) La integral de la suma de funciones es igual a la suma de las integrales de las funciones sumando


3) La integral de la diferencia de funciones esigual a la diferencia de las integrales de las funciones minuendo y sustraendo


4) Como consecuencia de las dos propiedades anteriores: la integral de una suma algebraica de funciones es igual a la suma algebraica de las integrales de todas y cada una de las funciones sumandos.

INTEGRACIÓN POR CAMBIO DE VARIABLE O SUSTITUCIÓN
Un método útil en ocasiones es el cambio de variable o sustitución. Estemétodo consiste en tomar una nueva variable, t, tal que, sea una función continua y que admita función inversa:
Como de se obtiene
Sustituyendo en
Tenemos que

INTEGRACIÓN POR PARTES
Sea , dos funciones variables en un intervalo (o en todo R)
Como
De donde

Integrando los dos miembros de la igualdad


La expresión obtenida se denomina fórmula de la integración por partes:

La fórmula deintegración por partes se utiliza para transformar una integral en otra. Transformación que será útil como método de integración cuando la integral del segundo miembro sea inmediata o al menos, más sencilla que la del primer miembro.
Para la selección de u se pueden utilizar los siguientes criterios:
a) Integrales de la forma




Siendo una función polinómica, se recomienda

b) Integrales de laforma



Se recomienda

c) Acrónimo LIATE
Logarítmica
Inversa Logarítmica (como arcsen x)
Algebraica
Trigonométrica
Exponencial
INTEGRACIÓN DE FUNCIONES RACIONALES
El objeto de estudio es la integración de funciones racionales, funciones del tipo donde
y son funciones polinómicas.
a) Fracciones racionales propias, descomposición en fracciones simples
es fracción racional propia si el grado dees menor que el de .
En este caso el método a seguir es su descomposición en fracciones simples, dado que se demuestra que toda fracción racional propia se puede descomponer en fracciones racionales simples.
El primer paso a realizar es descomponer factorialmente el denominador,
Puede ocurrir que existan raíces reales simples, raíces reales múltiples, raíces reales complejas simples, o raícescomplejas múltiples, según los distintos casos se tienen las siguientes descomposiciones:
1. Raíces reales simples
a) La descomposición del polinomio denominador mediante el método de Ruffini da lugar a raíces reales y distintas es decir:




b) A cada factor lineal, ax+b, del denominador de una fracción racional propia, le corresponde una fracción de la forma , siendo A una constante adeterminar.



2. Raíces reales múltiples

a) En este caso, la descomposición en factores múltiples del polinomio denominador nos da raíces reales de multiplicidad n del tipo
Para cada raíz de multiplicidad se generaran tantas integrales como nos indique el exponente esto es:





b) A cada factor lineal, , que figure veces en el denominador de una fracción racional propia, le corresponde una suma defracciones de la forma

Siendo los numeradores constantes a determinar.

3. Raíces imaginarias simples
Cada ecuación compleja dará lugar a factores de la forma:



4. Raíces imaginarias múltiples
Para cada ecuación compleja de multiplicidad n se generarán n integrales cuyos denominadores tienen la ecuación compleja afectada de exponentes crecientes hasta llegar a n, es decir




b) Si cuando...