Técnico en Programación

TEMA I: SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Y
MATRICES.
OBJETIVOS:
Generales:
1. Ampliar el conocimiento acerca de la resolución de
sistemas de ecuaciones con los procedimientos propios
del tema, y
2. Captar la utilidad del manejo de las matrices para
realizar cálculo y sus aplicaciones.
Específicos:
• Saber
resolver
sistemas
de
ecuaciones
lineales
empleando el método de Gauss-Jordan.• Conocer el Teorema de Rouché-Frobenius y mediante su
aplicación saber discutir sistemas de ecuaciones.
• Saber discutir, y en su caso resolver, sistemas de
ecuaciones con parámetros.
• Saber obtener la forma normal de Hermite de una matriz
cualquiera.
• Conocer los distintos tipos de matrices elementales.
• Saber obtener la inversa de una matriz dada mediante el
método de lastransformaciones elementales.
• Utilizar el lenguaje matricial y operaciones con
matrices
como
instrumento
para
representar
e
interpretar datos, relaciones y ecuaciones (expresión
matricial de un sistema de ecuaciones lineales).
• Conocer el concepto de matrices equivalentes.
BIBLIOGRAFÍA
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•

“Álgebra lineal con métodos elementales”, L. Merino, E.
Santos, 1999.
“Álgebra yGeometría Analítica”, F. Granero. McGrawHill, 1994.
"Álgebra lineal y teoría de matrices", R. Barbolla y P.
Sanz, 1998.
“Álgebra lineal y geometría: curso teórico-práctico”, J.
García-García y M. López Pellicer. Marfil, 1992.
“Álgebra lineal y geometría: ejercicios”, J. GarcíaGarcía y M. López Pellicer. Marfil, 1991.
“Problemas de álgebra lineal: cuestiones, ejercicios y
tratamiento en Derive”,P. Sanz, 1998.

Miguel Ángel García Muñoz

Álgebra II
Dipl. Estadística + Ing. Inf. Gestión

I. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES.
I.1 ECUACIONES Y SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES.
un cuerpo, una ecuación lineal con coeficientes
Sea
es una expresión de la forma:
a1x1 + a2x2 +...+ anxn = b
donde a1, a2,..., an ∈
y reciben el nombre de
coeficientes; b ∈
y se llama términoindependiente y x1,
x2,..., xn son símbolos que llamaremos incógnitas.

en

Una solución de una ecuación es una asignación de
valores de forma que se verifique la igualdad.
Un conjunto de m ecuaciones lineales con las mismas
incógnitas:

 a11x1 +...+a 1n x n = b1
 a 21x1 +...+a 2n x n = b 2

 ................
a m1x1 +...+a mn x n = b m
se llama sistema de m ecuaciones lineales con nincógnitas.
Llamaremos solución del sistema a cada asignación de
valores de las incógnitas, x1=k1,..., xn=kn que haga
verificarse todas las igualdades simultáneamente. Se dice
que (k1,...,kn) es solución del sistema. Llamaremos
solución general del sistema al conjunto de todas las
soluciones del sistema. Dos sistemas se dice que son
equivalentes si tienen la misma solución general.
Según elnúmero de soluciones los sistemas podemos
clasificarlos por:
a) Sistemas compatibles, si tienen alguna solución:
a.1) Determinados, solo una solución.
a.2) Indeterminados, más de una solución.
b) Sistemas incompatibles, sin solución.
Al proceso de estudiar a que tipo pertenece un sistema
dado lo llamaremos discutir el sistema.
Un sistema se dice homogéneo si, bi = 0, ∀i. Todo
sistema homogéneoes compatible pues admite la solución
(0,...,0).
I.2 MÉTODO DE GAUSS-JORDAN.
El método consiste en conseguir a partir del sistema
dado otro equivalente pero más simple y así sucesivamente
hasta llegar a un sistema equivalente al primero pero tan
simple que sus soluciones sean conocidas.
Proposición

Miguel Ángel García Muñoz

Curso 07-08
Tema 1: Sistemas de ecuaciones lineales ymatrices

Si en un sistema de ecuaciones se intercambian dos
ecuaciones, se multiplica una ecuación por un elemento no
nulo del cuerpo o se suma a una ecuación otra multiplicada
por un elemento del cuerpo, se obtiene un sistema
equivalente.
Algoritmo
reducido)

(Pasar

un

sistema,

a

otro

escalonado

Paso 1: Se toma como primera ecuación una en la que
el coeficiente de x1...