Título

Problema de Cinemática (30%, 40 min)
En el rodamiento de rodillos que se muestra en la figura la cubierta exterior, de radio
R+2r, permanece fija mientras que el eje interior, de radio R, gira auna velocidad
angular ω constante, si cada rodillo de radio r rueda sin deslizar sobre ambas pistas,
calcular:
1. Velocidad y aceleración de los siguientes puntos:
• A de la superficie del ejeinterior
• B de la superficie del rodillo
• C del eje del rodillo
• D de la superficie del rodillo
2. Axoides de los rodillos

Solución:
En primer lugar definimos los sólidos:
- Solido 1: Cubiertaexterior, sistema de referencia fijo OX1Y1Z1
- Sólido 0: Sistema auxiliar móvil que se mueve acompañando al punto C,
centro del rodillo, OX0Y0Z0
- Sólido 2: Rodillo, CX2Y2Z2
- Sólido 3: Ejeinterior, que gira a una velocidad angular ω, OX3Y3Z3

0

X3

Y1

δ

Y3

0

D
A

O

.

B C

θ

β
X1

De esta forma, las velocidades angulares tienten los siguientes valores:ω01 = β k
ω20 = δ k
ω31 = θ k = ω k
ω30 = ω31 − ω01 = ω k − β k = (ω − β ) k
1. Cálculo de las velocidades
Las velocidades angulares β y δ no son conocidas, para calcularlas nos apoyamos
en lospuntos D y B que pertenecen al rodillo que rueda sin deslizar:
•

D
D
D
v21 = 0 = v20 + v01

D
C
v20 = v20 + ω20 ∧ CD = 0 + δ k ∧ r i0 = δ r j0
D
C
v01 = v01 + ω01 ∧ CD = β ( R + r ) j0 +β k ∧ r i0 = β ( R + 2r ) j0

β ( R + 2r ) j0 + δ r j0 = 0
•

δ = −β

( R + 2r )
r

B
B
B
v23 = 0 = v20 + v03

B
C
v20 = v20 + ω20 ∧ CB = 0 + δ k ∧ (−r ) i0 = −δ r j0

(

) (

)B
B
O
v03 = −v30 = − v30 + ω30 ∧ OB = − 0 + (ω − β ) k ∧ R i0 = −(ω − β ) R j0

−δ r j0 − (ω − β ) R j0 = 0

δ = − (ω − β )

R
r

Los que nos da dos ecuaciones con dos incógnitas, β yδ :

β =ω

R
2( R + r )

δ = −ω

R ( R + 2r )
2r ( R + r )

Con lo que las velocidades angulares quedan:

ω01 = β k = ω

R
k
2( R + r )

ω20 = δ k = −ω

R ( R + 2r )
k
2r (...