U1 01 Nu Meros Reales UAM

TEMA 1
LOS NÚMEROS REALES

CURSO CERO MATEMÁTICAS: 1. EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS REALES

1.1. Números racionales. Los números reales.
• 1.1.1. Sucesivas ampliaciones el campo numérico.
LOS NÚMEROS NATURALES. N= {1,2,3,4,...}
LOS NÚMEROS ENTEROS. Z ={...,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,...}
LOS NÚMEROS RACIONALES.
Los números racionales se simbolizan con la letra Q. Decimos
que x es racional si y solo siexisten dos números enteros p,q
tales que x=p/q

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1.1. Números racionales. Los números reales.
• 1.1.2. Expresión decimal de los números racionales
Todos los números racionales admiten una expresión decimal, que se obtiene al
realizar la operación indicada. Pueden ser de tres tipos:
Números decimales exactos: cuando el número de cifrasdecimales es finito. Por
ejemplo: 0,5.
Números decimales periódicos puros: cuando el número de cifras decimales es
infinito y existe un conjunto de cifras decimales que se repite infinitamente (periodo).
Por ejemplo: 0,33333...
Números decimales periódicos mixtos: cuando el número de cifras decimales es
infinito y existen algunas cifras decimales que no se repiten (parte no periódica) y
otrascifras decimales que se repiten infinitamente (parte periódica). Por ejemplo:
0,122222…

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1.1. Números racionales. Los números reales.
• 1.1.3. Fracción generatriz de números decimales exactos y
periódicos
Sea x=E,D un número decimal exacto, donde E son las cifras de la
parte entera, y D las cifras de la parte decimal, siendo n el número deED
cifras de D, entonces
x
10
0
n ceros

Sea x=E,P un número decimal periódico puro, donde E son las cifras
de la parte entera, y P las cifras de la parte periódica, siendo n el número
de cifras de P, entonces x  EP  E
9
9

n nueves

Sea x=E,AP un número decimal periódico mixto, donde E son las cifras
de la parte entera, A las cifras del anteperiodo y P las cifras de la parte
periódica,siendo m el número de cifras de A y n el número de cifras de P,
EAP  EA
x
entonces
9
9 0
0

n nueves m ceros

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1.1. Números racionales. Los números reales.
• 1.1.4. Densidad de los números racionales
Consideremos dos números racionales cualesquiera p y q, es claro que el número
pq
también es racional y está situado entre p y q. Siahora consideramos el número
2

pq
q
2
2

este número estará situado entre

pq
2

y q. Repitiendo este proceso

indefinidamente podríamos conseguir infinitos números racionales entre p y q.

Dados dos números racionales p y q cualesquiera, existen infinitos
números racionales entre p y q. Esta característica define la densidad
de Q, y por eso decimos que Q es un conjunto DENSO.

•

1.1.5. Losnúmeros irracionales
Los números irracionales son aquellos números que no se
pueden expresar como cocientes de números enteros. La
expresión decimal de un número irracional es un número decimal
que no es exacto ni periódico, tiene infinitas cifras decimales que
no se repiten. Este conjunto se expresa mediante la letra I

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1.1. Númerosracionales. Los números reales.
• 1.1.6. Los números reales. La recta real
El conjunto formado por todos los números racionales e irracionales se denomina
conjunto de los números reales y se representa mediante la letra R.

  1'6180339887...

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1.1. EJERCICIOS
1. Determinar si los siguientes números son o no números racionales:
a)7’555555.... b) 3’034035036037...
c) 1’03034444444.... d) 34,350350350351
2. Efectuar las siguientes operaciones utilizando la fracción generatriz de cada número
decimal:



a) 0'6 1'2 b) 4  0'3  0'6
c) 0'4  0'5  0'132
0'06

1'5

3. Determinar si los siguientes números son racionales o irracionales:
a) 1’23234234523456....b) 1’23232323.... c) 1’234235236237... d) 1’23
4. Representar en la...