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1

SISTEMAS DE ECUACIONES.
MÉTODO DE GAUSS

Página 27
REFLEXIONA Y RESUELVE
Ecuaciones e incógnitas. Sistemas de ecuaciones
1. ¿Podemos decir que las dos ecuaciones siguientes son dos “datos distintos”?
¿No es cierto que la segunda dice lo mismo que la primera?
° 2x + y = 5
¢
£ 4x + 2y = 10
■

Represéntalas gráficamente y observa que se trata de la misma recta.
Se trata de la misma recta.

1
1
4x+ 2y = 10
2x + y = 5

■

Escribe otro sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas en el que la
segunda ecuación sea, en esencia,
igual que la primera. Interprétalo
gráficamente.
x + y = 1°
¢
3x + 3y = 3 £

1
1

Gráficamente son la misma recta.
x+y=1
3x + 3y = 3

Unidad 1. Sistemas de ecuaciones. Método de Gauss

1

2. Observa las ecuaciones siguientes:
° 2x + y = 5
§
¢ x– y=1
§
£ x + 2y = 4
■Represéntalas gráficamente y observa
que las dos primeras rectas determinan un punto (con esos dos datos se
responde a las dos preguntas: x = 2,
y = 1). Comprueba que la tercera recta también pasa por ese punto.

x–y=1

x + 2y = 4

(2, 1)

1
1

2

2x + y = 5

■

Da otra ecuación que también sea
“consecuencia” de las dos primeras.
Por ejemplo:

x–y=1

x + 2y = 4

2 · (1.ª) + 3 · (2.ª)
Represéntalay observa que también
pasa por x = 2, y = 1.

(2, 1)

1
1

2 · 1.a + 3 · 2.a 8 7x – y = 13

2

2x + y = 5
7x – y = 13

3. Considera ahora estas ecuaciones:
° 2x + y = 5
¢
£ 2x + y = 7
Observa que lo que dice la segunda
ecuación es contradictorio con lo que
dice la primera.
■

Represéntalas y observa que se trata
de dos rectas paralelas, es decir, no
tienen solución común, pues las rectas no secortan en ningún punto.

1
1

2
2x + y = 7

2x + y = 5

2

Unidad 1. Sistemas de ecuaciones. Método de Gauss

UNIDAD

■

1

Modifica el término independiente de la segunda ecuación del sistema que inventaste en el ejercicio 1 y representa de nuevo las dos rectas.
Observa que lo que dicen ambas ecuaciones es ahora contradictorio y que se
representan mediante rectas paralelas.

x + y = 1°
¢ Rectasparalelas:
3x + 3y = 0 £

1
1
x+y=1

3x + 3y = 0

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1. Sin resolverlos, explica por qué son equivalentes los siguientes pares de sistemas:
° x+y=5
a) ¢
£ 2x – y = 7
° x+y= 5
¢
£ 3x – y = 12
° x+ y–z= 5
§
c) ¢ x + y – z = 7
§
£ 2x + 2y – z = 12
z=2
°
¢
£ x+y–z=7

°x+y–z=5
b) ¢
£x+y–z=7
z=2
°
¢
£ x+y–z=7

° x + y – z = 11
d) ¢
£ x + 2y – z = 7
° x + y – z = 11
¢
y – z = –4
£

a) Hemossustituido la segunda ecuación por el resultado de sumar las dos que teníamos.
b) Hemos sustituido la primera ecuación por el resultado de restarle a la segunda
ecuación la primera.
c) En el primer sistema, la tercera ecuación se obtiene sumando las dos primeras. El
resto es igual que en b).
d) Hemos sustituido la segunda ecuación por el resultado de restarle a la segunda
ecuación la primera.
Unidad 1.Sistemas de ecuaciones. Método de Gauss

3

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1. Resuelve e interpreta geométricamente los siguientes sistemas:
° 2x + y = 1
§
a) ¢ 3x + 2y = 4
§
£ x+ y=3

°x+ y+z=6
§
y–z=1
b) ¢
§
£ x + 2y + z = 7

° x+y+z=6
§
c) ¢ x + y + z = 0
§
£x y– z=0

a) 2x + y = 1 ° 8 y = 1 – 2x °
§
§
3x + 2y = 4 ¢
¢ 1 – 2x = 3 – x 8 x = –2,
§
§
x+ y= 3£ 8 y= 3 – x £

°x+y+z=6
§
y–z=1
d) ¢
§
z=1
£

y = 3 – (–2) = 5Veamos si cumple la 2.a ecuación: 3 · (–2) + 2 · 5 = –6 + 10 = 4
Solución: x = –2, y = 5. Son tres rectas que se cortan en el punto (–2, 5).
b) x + y + z = 6 °
§
a
y – z = 1 ¢ La 3. ecuación se obtiene sumando las dos primeras;
§ podemos prescindir de ella.
x + 2y
=7£
x + y = 6 – z ° x = 6 – z – y = 6 – z – 1 – z = 5 – 2z
¢
y=1+z£ y=1+z
Solución: x = 5 – 2l, y = 1 + l, z = l. Son tres planos quese cortan en una recta.
c) x + y + z = 6 °
§
x+ y+z=0¢
§
x
–z=0£
d) x + y + z =
y–z=
z=

Las dos primeras ecuaciones son contradictorias.
El sistema es incompatible.
Los dos primeros planos son paralelos y el tercero los corta.

6° z = 1
§
1¢ y = 1 + z = 2
§
1£ x = 6 – y – z = 6 – 2 – 1 = 3

Solución: x = 3, y = 2, z = 1. Son tres planos que se cortan en el punto (3, 2, 1).
° x + 2y = 3
2. a)...