U13

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INFERENCIA ESTADÍSTICA:
ESTIMACIÓN
DE UNA PROPORCIÓN

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REFLEXIONA Y RESUELVE
¿Cuántas caras cabe esperar?
■

Repite el razonamiento anterior para averiguar cuántas caras cabe esperar
si lanzamos 100 monedas y consideramos “casos raros” al 5% de los casos
extremos.
El intervalo característico correspondiente a una probabilidad del 95% (consideramos
“casas raros” al 5% de los casosextremos) es:
50 ± 1,96 · 5 = (40,2; 59,8)
Esto significa que en el 95% de los casos en que tiremos 100 monedas, el número de
caras que obtendremos será mayor que 40 y menor que 60. Cualquier otro resultado
será un “caso raro”.

Un saco de alubias
Tenemos un saco con 10 000 alubias. De ellas, 9 500 son blancas y 500 son negras.
Están bien mezcladas.
Extraemos 600 judías.
¿Cuántas judías negras cabeesperar que haya entre ellas?
■

Resuelve el problema anterior considerando como “casos raros” solo al 1% de
los casos extremos. Para ello:
a) Averigua la proporción, p, de judías negras en el saco.
b) Considera la distribución B (600, p) y calcula su media μ = 600p y su
desviación típica q = √600 · p (1 – p) .
c) Considera la distribución N (μ, q) y halla su intervalo característicocorrespondiente a una probabilidad del 99%.
d) Decide, como consecuencia del resultado anterior, entre qué valores se encuentra el número de alubias que cabe esperar.
a) p =

500
= 0,05
10000

Unidad 13. Inferencia estadística: estimación de una proporción

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b) μ = 600 · 0,05 = 30;

q = √600 · 0,05 · 0,95 = √28,5 › 5,34

c) El intervalo característico correspondiente a una probabilidad del 99% es:
30 ±2,575 · 5,34 = (16,25; 43,75)
d) En el 99% de los casos en que saquemos 600 judías de ese saco, el número de judías negras será mayor que 16 y menor que 44. Cualquier otro resultado será un
“caso raro” (llamando “casos raros” a ese 1% de casos extremos).

Peces en un pantano
Se desea estimar el número total de peces que hay en cierto pantano. Para ello,
se procede del siguiente modo:
• Se pescan unacierta cantidad de ellos, por ejemplo, 349, se marcan y se
devuelven al pantano. (Para marcarlos, existen unas tintas indelebles que son
resistentes al agua).
• Al cabo de varios días, se vuelve a pescar otro montón y se averigua qué proporción de ellos están marcados.
Supongamos que en esta segunda pesca se han obtenido 514 peces, de los
cuales hay 37 marcados.
■

Con los datos anteriores,averigua cuántos peces hay, aproximadamente, en el
pantano.
La muestra tiene 514 peces, de los cuales hay 37 marcados. La proporción de peces mar37
cados en la muestra es: pr =
= 0,072. El valor de la proporción de peces marcados
514
349
en el pantano es pr =
, donde N es el número total de peces.
N
Aunque este problema se resolverá de forma completa (mediante un intervalo de confianza) al terminar launidad, podemos suponer que la proporción de peces marcados
en la muestra y en el pantano será “aproximadamente” la misma; es decir:
37
349
›
8 N › 4 848,27 8 N › 4848 peces
514
N
(Al considerar una probabilidad determinada, daremos un intervalo de confianza,
obteniendo un resultado más preciso que este).

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1. La variable x es binomial, con n = 1 200 y p = 0,008.
a) Calcula la probabilidadde que x sea mayor que 10.
b) Halla el intervalo característico para una probabilidad del 95%.

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Unidad 13. Inferencia estadística: estimación de una proporción

UNIDAD 13

Como np = 9,6 > 5 y nq > 5, podemos aproximar mediante una normal de media
μ = np = 9,6 y desviación típica q = √npq = √1 200 · 0,008 · 0,992 = 3,09.
Es decir:
x es B (1 200; 0,008) 8 x ' es N (9,6; 3,09) 8 z es N (0, 1)[

a) P [x > 10] = P [x ' Ó 10,5] = P z Ó

]

10,5 – 9,6
= P [z Ó 0,29] =
3,09

= 1 – P [z < 0,29] = 1 – 0,6141 = 0,3859
b) Para una probabilidad del 95%, za/2 = 1,96.
El intervalo característico será:
(9,6 – 1,96 · 3,09; 9,6 + 1,96 · 3,09); es decir, (3,54; 15,66)
2. Si tenemos un dado correcto y lo lanzamos 50 veces:
a) ¿Cuál es la probabilidad de que “el 1” salga más de 10 veces?
b) ¿Cuál es...