U2 Matrices y determinantes

UNCa – Facultad de Ciencias Agrarias
Dpto. Ciencias Básicas – Matemática I y II

MATRICES, DETERMINANTES Y SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

1. MATRICES
DEFINICION: Se llama MATRIZ a todo cuadro de números distribuidos en filas y columnas.
NOTACION: Generalmente, una matriz se nombra por una letra mayúscula y sus elementos,
una vez distribuidos en las filas y columnas respectivas, se encierran concorchetes o con
paréntesis, así:
 a11 a12  a1n 


 a 21 a 22  a 2 n 
A= 
 ;
 

 


a m 1 a m 2  a mn 

 a11 a12  a1n 


 a 21 a 22  a 2n 

o así: A = 
 
 



 a m 1 a m 2  a mn 

En estas notas usaremos preferentemente los corchetes.
ORDEN DE UNA MATRIZ
El orden de una matriz es el número de filas y de columnas que tiene esa matriz.
Si el número defilas de una matriz A es "m" y el de columnas es "n", se suele anotar Amxn,
leyéndose "matriz A de orden m por n".
ELEMENTO GENERICO
El símbolo "aij", llamado elemento genérico de una matriz, se usa para indicar que el elemento
por él designado ocupa el lugar correspondiente a la fila "i" y a la columna "j".
En consecuencia, una anotación del tipo "a23" debe interpretarse que se trata del elemento"a",
que ocupa el lugar correspondiente a la fila 2 y a la columna 3.
OTRA NOTACION DE UNA MATRIZ
Para el caso de una matriz A con m filas y n columnas, se debe entender que i varía desde 1
hasta m y que j varía desde 1 hasta n (siendo i y j variables en el conjunto de los números
naturales).
Por ello, otra forma de anotar una matriz A, de m filas y n columnas, que tiene como elemento
genérico a aij,es:
Amxn = (aij)

(i= 1, 2, ..., m; j= 1, 2, ..., n)

 a11

a 21
Así, la matriz A = 
 a 31

 a 41

a12 a13 

a 22 a 23 

a 32 a 33 

a 42 a 43 

puede anotarse de esta forma:
A4x3 = (aij)

(i= 1, 2, 3, 4; j= 1, 2, 3)

MATRICES IGUALES
DEFINICION: dos matrices son iguales si y sólo si
i) son del mismo orden
ii) los elementos homólogos son respectivamente iguales.
En símbolos: A =B  aij = bij,  i,j

CLASIFICACION DE LAS MATRICES POR SU ORDEN
Por su orden ( o dimensión), las matrices se clasifican en:
a) rectangulares
b) cuadradas.

Sea Amxn ;

si m  n, la matriz se dice rectangular;
si m = n, la matriz se dice cuadrada.

 a11 a12 a13 


a 21 a 22 a 23 


 a 31 a 32 a 33 


 a 41 a 42 a 43 
matriz rectangular

 a11 a12 a13 


a 21 a 22 a 23 


a 31 a 32 a 33 

matriz cuadrada

MATRICES ESPECIALES
Matriz fila: es la matriz que tiene una sola fila.
Ejemplo:
B = b11 b12 b13= ( b1j )(j = 1, 2, 3)

Matriz columna: es la matriz que tiene una sola columna.
Ejemplo:
 c11
 
C = c 21 = ( ci1 ) (i = 1, 2, 3)
 
c31

CARACTERIZACION DE LAS REGIONES DE UNA MATRIZ CUADRADA
Por el comportamiento de los subíndices i y j de un elementodel tipo aij de una matriz cuadrada
cualquiera, es posible caracterizar tres regiones en ella:
1)

los elementos aij tales que i=j, forman la diagonal principal

2)

los elementos aij tales que i
3)

los elementos aij tales que i>j, forman el triángulo inferior.

MATRICES TRIANGULARES
Si en una matriz cuadrada es:
aij = 0 , i se dice que la matriz es triangularsuperior.
La que sigue es una matriz triangular superior de orden 4:
0
0
0
 a11


0
0
a 21 a 22
A= 

0
 a31 a 32 a 33


 a41 a 42 a 43 a 44 

Si en una matriz cuadrada es:
aij = 0 , i>j
se dice que la matriz es triangular inferior.
La que sigue es una matriz triangular inferior de orden 4:

a11 a12 a13

 0 a 22 a 23
B= 
0 a 33
 0

0
0
 0

a14 

a 24 

a34 

a44 MATRIZ DIAGONAL
Se llama matriz diagonal a toda matriz que es simultáneamente triangular superior y triangular
inferior.
Es inmediato que, en una matriz diagonal, es
aij = 0 , ij .
El siguiente es un ejemplo de matriz diagonal:
0
0
0
d 11


0
0
 0 d 22
D= 

0 d 33
0
 0


0
0 d 44 
 0

MATRIZ ESCALAR
Se llama matriz escalar a toda matriz diagonal en la que:
d11=d22=d33= ... =...

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