U2

ESTADISTICA. FCE. UBA

UNIDAD 2. DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD

VARIABLES ALEATORIAS ESPECÍFICAS

Luego de conocer generalidades sobre variables aleatorias veremos, de acá en
más, distribuciones especiales que se utilizan para el estudio de fenómenos
económicos.

Distribuciones especiales discretas
Esquema de pruebas repetidas: se trata de observaciones que generan registros
obtenidos a partirde situaciones ocurridas en igualdad de condiciones.
A partir de este tipo de experimentos aleatorios pueden definirse varias
distribuciones de probabilidad como las que veremos a continuación.
Distribución de Bernoulli
Def. Un experimento aleatorio se denomina dicotómico si de él sólo pueden
obtenerse dos resultados posibles.
Un experimento de Bernoulli se caracteriza por ser dicotómico. A uno delos
resultados, el que interesa estudiar desde el problema a tratar, se lo denomina
éxito del que se conoce su probabilidad de ocurrencia p y al otro suceso posible
se lo designa fracaso, cuya una probabilidad se identifica con q = 1 – p, ya que los
sucesos “se obtiene éxito” y “se obtiene fracaso” son complementarios.
Def. Se dice que una variable aleatoria tiene distribución de Bernoulli si dadoun
experimento aleatorio dicotómico, con probabilidad de éxito p conocida, la variable
cuenta el número de éxitos obtenidos al realizarlo una única vez.
En símbolos: X ~ Be(p) donde p es el parámetro de la distribución.
La función de probabilidad puntual será:

1  p si x = 0
f (x)  
si x = 1
p

X

0

1

ó
p(x) 1 - p

p

Propiedades y características
Esperanza matemática:

E(X) = pVarianza:

V(X) = p (1-p)

Ejercicio: Verificar estos resultados.
Prof. LAURA POLOLA

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Distribución Binomial
Cuando un experimento de Bernoulli se repite n veces, de forma independiente,
se genera un experimento binomial del que surge la variable con distribución
binomial. Para n = 1, la distribución binomial coincide con la distribución de
Bernoulli.
Un experimento binomial secaracteriza por:
 Realizarse n repeticiones u observaciones de un experimento simple.
 Es una sucesión de experimentos dicotómicos cuyos posibles resultados se
identifican como éxito y fracaso.
 La probabilidad de éxito p es constante, no varía de una prueba a otra.
 El resultado obtenido en cada prueba es independiente de los resultados
obtenidos anteriormente.
Def. Se dice que una variablealeatoria discreta tiene distribución binomial si
cuenta el número de éxitos obtenidos entre los n resultados al realizar un
experimento binomial conociendo la probabilidad de éxito p.
En símbolos: X ~ B(n, p) donde n y p son los parámetros de la distribución.
La función de probabilidad puntual es:

n
f (x) =   p x (1  p)n  x
x

donde x  {0,1, …, n}

Propiedades y características de ladistribución binomial
Esperanza matemática:

E(X) = n.p

Varianza:

V(X) = n.p (1-p)

Prof. LAURA POLOLA

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Cuando se realizan n selecciones con reposición de un conjunto de elementos,
queda garantizada la independencia de los sucesivos resultados obtenidos. En
caso de poder establecer la dicotomía éxito/fracaso se cumplen todas las pautas
para identificarlo como un experimentobinomial. Si se tratase de una selección sin
reposición de un universo suficientemente grande puede asumirse una
“independencia no teórica” pero justificable para aplicar la distribución binomial
como una aproximación para el cálculo de probabilidades.
Distribución de Pascal
Dentro del mismo contexto de trabajo que en el caso anterior, donde se realizan
sucesivos experimentos dicotómicosindependientes puede definirse una nueva
variable aleatoria discreta que cuente el número de veces que debe realizarse el
experimento hasta lograr un número determinado de éxitos. En estas condiciones
se define la distribución de Pascal.
Def. Se dice que una variable aleatoria discreta tiene distribución de Pascal si
cuenta el número de veces que debe realizarse un experimento de Bernoulli, con...