U2

ESTADISTICA. FCE. UBA

UNIDAD 2. DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD

VARIABLES ALEATORIAS ESPECÍFICAS

Distribuciones especiales continuas
Distribución uniforme
La distribución uniforme se interpreta como aquella que expresa equiprobabilidad
para los valores de la variable definida en un intervalo acotado [a;b]. Vale decir
que esto es formalmente cierto si el rango de la variable es un conjuntofinito pero
por tratarse de una variable aleatoria continua, sabemos que las probabilidades
puntuales para cada uno de sus valores son cero.
La analogía es igualmente válida ya que puede decirse sin error que si se
consideran intervalos de igual longitud dentro del recorrido de la variable, la
probabilidad de que la variable se encuentre en dichos intervalos se mantendrá
constante sin importar suubicación.
Función de densidad
La particularidad que tiene la función de densidad es que es constante en el
intervalo [a;b] donde esta definida la variable. De esta manera, para satisfacer las
propiedades de toda densidad, el valor de dicha constante depende de la amplitud
del intervalo b-a. Así resulta:
 1
si x  a, b 

f (x)  b  a
 0
si x  a, b 


En símbolos: X ~ U[a;b]

Esperanza yvarianza de una variable aleatoria uniforme
Dado que la función de densidad es constante la obtención de la espranza y
varianza es inmediata planteando las integrales correspondientes, resultando:
E( X ) 

ab
2

y

V(X ) 

(b  a)2
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Función de distribución (acumulativa)
Para obtener la función de distribución acumulativa consideramos F(t)=P(X≤ t)
entonces resulta:

Prof. LAURA POLOLA

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0
t a

F (t )  
b  a
1

si t  a
si a  t  b
si t  b

F(t)
1

0
a

b

t

Distribución normal
Esta distribución es frecuentemente utilizada en las aplicaciones estadísticas.
Muchas variables aleatorias continuas presentan una función de densidad cuya
gráfica tiene forma de campana, en general asociadas a fenómenos naturales. De
su estudio a lo largo de la historia hasurgido este modelo de distribución.
Las variables para las que mejor queda representado su comportamiento a través
de esta distribución son muchas, algunas muy características son:
 Caracteres morfológicos de individuos ya sean personas, animales ó plantas,
como tallas, pesos, envergaduras, diámetros, perímetros, etc.
 Caracteres fisiológicos, por ejemplo: efecto de una misma dosis de unfármaco,
o de una misma cantidad de abono.
 Caracteres sociológicos, por ejemplo: consumo de cierto producto por un
mismo grupo de individuos, puntuaciones de examen.
 Caracteres psicológicos, por ejemplo: cociente intelectual ó grado de
adaptación a un medio.
 Errores cometidos al medir ciertas magnitudes.
Y en general cualquier característica que se obtenga como suma de muchos
factores.
Función dedensidad
Empleando cálculos bastante laboriosos, puede demostrarse que el modelo de la
función de densidad que corresponde a tales distribuciones viene dado por la
fórmula:

f (x) 

1

 2

 ( x   )2

e

2 2

Representación gráfica de esta función de densidad

Donde µ y σ2 son los
parámetros de la distribución y se verifica que
E(X) = µ y V(X) = σ2
En símbolos: X ~ N(µ, σ2)

Propiedades ycaracterísticas de la distribución normal
 Su recorrido coincide con la recta real, es decir R X =
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 El gráfico de su densidad es simétrico respecto a µ, que además de ser su valor
medio o esperado, es la mediana de la distribución. Así P(X  µ) = P(X ≥ µ) =
0,5.
 Sus puntos de inflexión se encuentran en x = µ + σ y x = µ - σ
 La función de densidad esasintótica respecto al eje de absisas.
En esta distribución, μ indica la posición de la curva y σ es el parámetro de
dispersión. En el siguiente gráfico se muestran densidades N(0, σ 2) para distintos
valores de σ y un caso donde μ=3.

Función de distribución (acumulativa)
De acuerdo a su definición F(x) = P(X  x) por lo tanto en esta variable continua
esta probabilidad se corresponde con el...