U3 Dualidad y Sensibilidad

INSTITUTO TECNOLOGICO DE NUEVO LEON

INVESTIGACION DE OPERACIONES I
Teoría de Dualidad y Análisis de Sensibilidad

UNIDAD III

INGENIERIA INDUSTRIAL

3.1 TEORIA PRIMAL - DUAL
 La Dualidad puede caracterizarse a través de la siguiente afirmación:
“Para todo problema de Maximización de Programación Lineal, existe un problema
equivalente de Minimización; y a la inversa, para todo problema deMinimización de
Programación Lineal, existe un problema equivalente de Maximización”

La Dualidad es importante por diversas razones:
- Puede dar como resultado una reducción en los cálculos al resolver
problemas
- La relación dual, tiene un nexo importante con el análisis de Sensibilidad

Es posible obtener importante información económica acerca del valor de los
recursos

3.2 FORMULACION DEL PROBLEMADUAL
 El concepto fundamental de la Dualidad radica en la relación matemática que
existe entre lo que se conoce como el Problema Primario y el Problema Dual.
 La forma general de la relación dual se expresa de la siguiente manera:

Problema Primario de Maximización

Maximizar Zp=C1X1 + C2X2 + C3X3
Sujeto a:

a11X1 + a12X2 + a13X3 ≤ b1

Problema Dual de Minimización

Minimizar Zd=b1Y1 + b2Y2 +b3Y3
Sujeto a:

a11Y1 + a21Y2 + a31Y3 ≤ C1

a21X1 + a22X2 + a23X3 ≤ b2

a12Y1 + a22Y2 + a32Y3 ≤ C2

a31X1 + a32X2 + a33X3 ≤ b3

a13Y1 + a23Y2 + a33Y3 ≤ C3

X1, X2, X3 ≥ 0

Y1, Y2, Y3 ≥ 0

3.3 RELACION PRIMA-DUAL
Asociado a cada problema lineal existe otro problema de programación lineal
denominado problema dual (PD) , que posee importantes propiedades y relaciones
notables con respecto al problemalineal original, problema que para diferencia del
dual se denomina entonces como problema primal (PP).

Las relaciones las podemos enumerar como siguen:
a) El problema dual tiene tantas variables como restricciones tiene el
programa primal.
b) El problema dual tiene tantas restricciones como variables tiene el
programa primal

c) Los coeficientes de la función objetivo del problema dual son lostérminos
independientes de las restricciones del programa primal.
d) Los términos independientes de las restricciones del dual son los
coeficientes de la función objetivo del problema primal.
e) La matriz de coeficientes técnicos del problema dual es la traspuesta de la
matriz técnica del problema primal.

f) El sentido de las desigualdades de las restricciones del problema dual y el
signo de lasvariables del mismo problema, dependen de la forma de que
tenga el signo de las variables del problema primal y del sentido de las
restricciones del mismo problema. ( Ver tabla de TUCKER)
g) Si el programa primal es un problema de maximización, el programa dual es
un problema de minimización.

h) El problema dual de un problema dual es el programa primal original.

3.3.1 INTERPRETACION ECONOMICADEL DUAL

Desde el punto de vista de la Toma de Decisiones en la Administración, las variables
duales ( Yi ) indican la cantidad extra que se estaría en disponibilidad de pagar por una
unidad adicional de un recurso específico.
En otras palabras, estaríamos dispuestos a pagar un precio mas elevado por un
recurso escaso, hasta por el valor de la variable dual.
Solo nos interesa el excedente sobre elprecio normal, puesto que el precio original del
recurso se incluye en el cálculo de la variable.

3.4 DUAL SIMPLEX
El Planteamiento Dual del Problema Primario se obtiene de la siguiente manera:
1. En la Función Objetivo, reemplazar las variables Xj del Primario, por
variables Yi en el Dual.
2. Colocar los Coeficientes de la Función Objetivo del Primario como los
Valores del Segundo Término en elDual
3. Colocar los Valores del Segundo Término del Primario, como los
Coeficientes de la Función Objetivo del Dual
4. Transponer los renglones de los Coeficientes de Restricción del Primario,
para convertirlos en columnas de Coeficientes en el Dual
Invertir la dirección de las desigualdades, es decir, si las desigualdades del Primario
son de mayor o igual, (≥) las desigualdades en el Dual...