uc matematicas

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UNIVERSIDAD CATOLICA DE LA SANTISIMA CONCEPCION
FACULTAD DE INGENIERIA
DEPARTAMENTO DE MATEMATICA Y FISICA APLICADAS
PAUTA CERTAMEN N◦ 1 CALCULO I (IN1002C)
Segundo Semestre de 2012Problema 1.

(1.0 Puntos)

Demuestre la siguiente propiedad de los n´meros reales:
u

Si a, b, x ∈ R, a = 0, pruebe que

a2 x2 − b2 = 0 =⇒

(x = a−1 b ∨ x = −a−1 b).

(a2 x2 − b2 ) + 0 = 0
(a x− b ) + ((ax)b + (−(ax)b)) = 0
(a2 x2 + (ax)b) + (−(ax)b + (−b2 )) = 0
((ax)(ax) + (ax)b) + (−(ax)b + (−bb)) = 0
(ax) · (ax + b) + (−b((ax) + b)) = 0
(ax + (−b))(ax + b) = 0
⇒ (ax + (−b)) = 0 ∨(ax + b) = 0
⇒ (x = ba−1 ) ∨ (x = −ba−1 )

Demostraci´n:
o

2 2

Def. Neutro Aditivo

2

(0.2 Puntos)

Inverso Aditivo

Asociatividad y Commutatividad
Definici´n de cuadrado
o(0.2 Puntos)

Commutatividad y distributividad

(0.2 Puntos)
(0.2 Puntos)
(0.2 Puntos)

distributividad

Propiedad de orden
Propiedad

Problema 2.
(2.0 Puntos)
Resuelva la siguienteinecuaci´n, indicando expl´
o
ıcitamente el conjunto soluci´n:
o
x−8
1
≥
;
x
x−1
Soluci´n: Se tiene que lo anterior es equivalente a:
o
|x − 8||x − 1| ≥ |x| x = 0

∧

x=1

As´ tendremoslos siguientes casos:
ı
x=0
|x|
|x − 1|
|x − 8|

−x
−(x − 1)
−(x − 8)

x=1
x
−(x − 1)
−(x − 8)

x=8
x
x−1
−(x − 8)

x
x−1
x−8
(0.2 puntos)

As´ tendremos cuatro casos
ı
Caso1: x < 0
[−(x − 8)][−(x − 1)] ≥ −x
⇒ x2 − 8x + 8 ≥ 0
√
√
⇒ [x − (4 + 8)][x − (4 − 8)] ≥ 0
√
√
S =] − ∞, 4 − 8] ∪ [4 + 8, +∞[
S1 =] − ∞, 0[
Caso 2: 0 < x < 1
[−(x − 8)][−(x − 1)] ≥ x
⇒ x2 −10x + 8 ≥ 0
√
√
⇒ [x − (5 + 17)][x − (5 − 17)] ≥ 0
√
√
S =] − ∞, 5√ 17] ∪ [5 + 17, +∞[−0
−
S2 =]0, 5 − 17]

(0.2 puntos)

(0.2 puntos)

(0.2 puntos)

(0.2 puntos)

2
Caso 3: 1 < x≤ 8
[−(x − 8)][(x − 1)] ≥ x
⇒ x2 − 8x + 8 ≤ 0

(0.2 puntos)

√
√
⇒ [x − (4 + 8)][x − (4 − 8)] ≤ 0
√
√
8,
8]
S = [4 − √ 4 + √
S3 = [4 − 8, 4 + 8]

(0.2 puntos)

Caso 4: x > 8
[(x...