uclm derivadas

Curso Cero
Bloque 7: Derivaci´n
o
Tabla de derivadas elementales
Derivada de una constante:
y = k → y ′ = 0.

Derivada de la funci´n seno:
o
y = sin x → y ′ = cos x.

Derivada de unapotencia:
y = xn (x) → y ′ = nxn−1 (x).

Derivada de la funci´n coseno:
o
y = cos x → y ′ = − sin x.

Derivada de una raiz:
√
y = n x → y ′ = √1n−1 .
n

Derivada de la funci´n tangente:
o
1y = tg x → y ′ = cos2 x = 1 + tg2 x.

Derivada de la funci´n exponencial:
o
x → y ′ = ex .
y=e

Derivada de la funci´n arcoseno:
o
1
y = arcsin x → y ′ = √1−x2 .

Derivada de la funci´nexponencial en base a:
o
x → y ′ = ax · log a.
y=a

Derivada de la funci´n arcocoseno:
o
′ = √ −1 .
y = arc cos x → y
1−x2

Derivada de la funci´n logar´
o
ıtmo (neperiano):
′ = 1.
y =log x → y
x

Derivada de la funci´n arcotangente:
o
1
y = arc tg x → y ′ = 1+x2

n

x

Derivada de la funci´n logar´
o
ıtmo en base a:
1
′ =
y = loga x → y
x log a .
Derivada de unaconstante por una funci´n. y = k · f (x) → y ′ = k · f ′ (x).
o
Derivada de una suma o resta de funciones. y = f (x) ± g(x) → y ′ = f ′ (x) ± g ′ (x).
Derivada de un producto de funciones. y = f (x)· g(x) → y ′ = f ′ (x) · g(x) + g ′ (x) · f (x).
Derivada de un cociente. y =
Regla de la cadena:

f (x)
g(x)

→ y′ =

f ′ (x)·g(x)−g ′ (x)·f (x)
g 2 (x)

[g(f (x))]′ = g ′ (f (x)) · f ′(x)

Ejemplo. Dada la funci´n q(x) = esen x que es una funci´n compuesta podemos identificarla como Q =
o
o
g(f (x)), donde f (x) = sen x, g(x) = ex . Para derivarla hacemos Q′ = esen x cos x.Interpretaci´n geom´trica de la derivada: La derivada de una funci´n f (x) en el punto de abscisa
o
e
o
′ (a), coincide con la pendiente de la recta tangente a la gr´fica de f (x) en x = a. Enparticular
x = a, f
a
la ecuaci´n de dicha recta tangente es
o
y − f (a) = f ′ (a)(x − a)
Aplicaciones: En f´
ısica, la derivada de la posici´n de un m´vil x con respecto al tiempo es la velocidad...