uclm funcion logaritmica y exponencial

Curso Cero
Bloque 5: Logaritmos y exponenciales
Exponencial generalizada: La exponencial de un n´mero real x, que puede ser positivo, negativo o nulo,
u
en una base dada b > 0 y tal que b ̸= 1,es igual a la potencia bx .
Propiedades de las exponenciales generalizadas en base b:
La exponencial bx > 0 para todo −∞ < x < ∞.
Si x > 0 entonces bx > 1. Si x < 0 entonces bx < 1. b0 = 1, laexponencial de cero es siempre uno.
Producto de exponenciales: bx · by = bx+y .
Cociente de exponenciales: bx /by = bx−y .
Exponencial de exponencial: (bx )y = bxy .
Logaritmo: El logaritmo de unn´mero real positivo x, en una base dada b > 0 (b ̸= 1), es el exponente
u
al cual se debe elevar la base para obtener x:
logb x = y

=⇒

by = x,

b > 0, x > 0.

Propiedades de loslogaritmos:
No existe el logaritmo de un n´mero negativo, ni de cero.
u
Si 0 < x < 1 entonces logb x < 0. Si x > 1 entonces logb x > 0.
logb 1 = 0, el logaritmo de uno es siempre cero y logb b = 1, ellogaritmo en base b de b es uno.
Logaritmo de un producto: logb( ) = logb x + logb y, siempre que x, y > 0
(xy)
Logaritmo de un cociente: logb x = logb x − logb y, siempre que x, y > 0.
y
Logaritmode una potencia: logb xa = a logb x.
Cambio de base: logb x = logc x/ logc b, siendo b y c las bases.
La exponencial y el logaritmo natural: Cuando la base b es igual al n´mero e = 2,7182818 . . ., se tienen
u
exponenciales y logaritmos naturales, tambi´n conocidos como neperianos. Se denotan, respectivamente
e
(prestar atenci´n a las calculadoras), por
o
ex

y

ln x = loge x = logx.

Gr´fica de las funciones exponencial y logaritmo: La funci´n
a
o
logaritmo en base b = e es la funci´n inversa de la exponencial
o
en esa base. De aqu´ se deduce que las funciones f (x) =ex y
ı
g(x) = ln x son inversas una de la otra. Como puede verse en
la figura adjunta, la gr´fica de la funci´n logar´
a
o
ıtmica g(x) es
sim´trica (respecto a la bisectriz del primer y tercer...