Ucv trujillo

Tema 4. Ecuaciones e Inecuaciones.
1. Ecuaciones con una incógnita. 1.1. Ecuaciones de primer grado 1.2. Ecuaciones de segundo grado 1.3. Ecuaciones bicuadráticas 1.4. Ecuaciones polinómicas 1.5. Ecuaciones con radicales. 1.6. Ecuaciones de fracciones polinómicas. 2. Ecuaciones lineales con dos incógnitas 3. Sistema de ecuaciones 3.1. Dos ecuaciones lineales 3.1.1. Soluciones. Interpretacióngráfica 3.1.2. Resolución de 2 ecuaciones lineales. 3.2. Sistemas no lineales de dos incógnitas 4. Inecuaciones lineales 4.1. Inecuaciones lineales con una incógnita 4.2. Inecuaciones lineales con dos incógnitas 4.3. Inecuaciones de segundo grado con una incógnita 4.4. Inecuaciones polinómicas y facciones algebraicas 4.4.1. Inecuaciones polinómicas 4.4.2. Inecuaciones de fracciones algebraicas. 5.Sistemas de inecuaciones lineales 5.1. Una incógnita 5.2. Dos incógnitas

Tema 4. Ecuaciones, sistemas, inecuaciones.

1. Ecuaciones con una incógnita.
En mucha de las situaciones de la vida diaria se plantean problemas que se pueden resolver a partir de ecuaciones. Por ejemplo, si queremos saber el ladote un jardín cuadrado de 100m2: x=lado área=x2=100m2 x= 100m 2 = 10m

1.1 Ecuaciones deprimer grado Son las mas sencillas de resolver, a partir de las operaciones de simplificación obtendremos una expresión de la forma a·x+b=0 donde a y b son números reales. Cuya solución es única x=-b/a Ejemplo:
3( x + 1) x − 4 9( x + 1) 6 x 2·( x − 4) −x= − = 9x+9-6x=2x-8 2 3 6 6 6 3(−17 + 1) − 17 − 4 Comprobación: − (−17) = − 24 + 17 = −7 2 3 x=-17

Ejercicio 1. Resolver:
x−3 5− x +7= x−solución x=43/5 2 3 − 3(5 − x) 3 x 5x 255 b) − =7− solución x= 10 2 3 14

a)

1.2 Ecuaciones de segundo grado
Después de operar la expresión simplificada de ecuaciones de segundo grado es de la forma:

a·x +bx+c=0.

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− b ± b 2 − 4ac solución: x = 2·a

Podemos ver que según el signo del discrimínate ∆ = b 2 − 4ac podemos tener 1,2 o ninguna solución:

a) ∆ >0 dos soluciones x =

−b+ ∆−b− ∆ , x= 2·a 2·a −b b) ∆ =0 una solución x = (raíz doble) 2·a c) ∆ 0 no solución c 2 x =− x=± −  a a si c < 0 2 soluciones  a x(ax+b)=0 x=0, x=-b/a. Siempre dos soluciones

Ejercicio 2. Resolver: a) x2-6√2x+18=0 √ b) 2x2-7x+3=0 c)
6 2 ± 72 − 72 =3 2 2 6 7 ± 49 − 24 x= = 1 2 x=

x + 7 x 2 − 3x + 6 + =1 x + 3 x 2 + 2x − 3 5x2+5x-6=0

(x+7)·(x2+2x-3)+(x2-3x+6)=(x+3)·(x2+2x-3) 1 + 2 1 − − 2− 145 10 145 10 5x2+19x-102=0

− 5 ± 25 + 120 − 5 ± 145 x= = = 10 10

d)

x +1 1− x 5 + = x+5 x−4 2 x=

2(x+1)(x-4)+2(1-x)(x+5)=5(x+5)(x-4)

3 − 19 ± 361 + 2040 − 19 ± 49 = = − 34 10 10 5 x2-2√3x+3-1=0

e) (x-√3)2-1+x=x f) 1+(x-2)2=1 g) 9x2-25=0 h) x2-2x=0

x=

2 3 ± 12 − 8 = 2

3 +1 3 −1

(x-2)2=0 x2=25/9 x(x-2)=0

x=2

x=±

25 5 =± 9 3

x=0, x=2

1.3 Ecuacionesbicuadradas
Ecuaciones polinómicas de 4º grado sin términos impar, es decir de la forma:

ax4+bx2+c=0. con a,b,c∈R
Procedimiento para resolver las ecuaciones bicuadráticas: 1. Cambio variable: x2=t, luego x4=t2 at2+bt+c=0 2. Resolver la ecuación de segundo grado en t. 3. Soluciones son las raíces cuadradas de las soluciones en t (deshacer cambio variable). x = ± t .

Página realizada por José LuisLorente (lorentejl@gmail.com)

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Tema 4. Ecuaciones, sistemas, inecuaciones.

El número de posibles soluciones son: a) 0 soluciones, o no soluciones en t o son negativas. b) 2 soluciones distintas c) 2 soluciones dobles d) 4 soluciones distintas

Ejemplo: x4-5x2+4=0
Paso1: x2=t t2-5t+4=0 4 5 ± 25 − 16 5 ± 3 = = Paso2: t = 1 2 2 Paso3 : x = 2,−2,1,−1

Ejercicio 3 : resolver lassiguientes inecuaciones a) x4-x2-6=0 b) x4-3x2+2=0 c) –x4-4x2-45=0
solución : x= ± 3 solución x= ± 2 ,±1 No soluciones reales

1.4 Ecuaciones polinómicas
Las ecuaciones polinómicas son expresiones de la forma p(x)=0 con p(x) un polinomio. Consiste en obtener los valores de x que anulan el polinomio, es decir las raíces. Las formas de proceder a calcular las soluciones son las mismas que las...