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“INTEGRALES DE LINEA”

La naturaleza de una integral de línea es similar a la de una integral simple, la única diferencia esta en que en vez de integrar en un intervalo lo hacemos a lo largo de una curva C.

Se inventaron en el S. XIX para resolver problemas en donde intervienen corrientes de fluido, fuerzas, electricidad, magnetismo.

Consideramos una curva plana C definida por lasecuaciones parametricas



Esta curva estará dada mediante la función vectorial



Suponemos que C es una curva suave, con r’ continua y
Si dividimos el intervalo de variación de t esto es en n subintervalos
de longitud .

Por tanto si luego los puntos dividen a C en subarcos con longitudes


Si f es una función cualquiera de dos variables, cuyo dominio incluye a la curva C,evaluamos f en , la multiplicamos por la longitud del subarco y definimos la suma



Definición: si f esta definidas obre una curva suave C, dada por las ecuaciones parametricas , entonces la integral de línea de f a lo largo de C es:



Por lo visto anteriormente sabemos que

Luego:


La integral de línea es una integral ordinaria.
Si C es una curvasuave a trozos, es decir, C es la curva de un número finito de curvas suaves , como se muestra en la figura.


Ejemplo: Evalúe , donde C esta definida por el arco de la parábola entre (0, 0) y (1, 1) seguido por el segmento de recta entre (1,1) y (1,2)




Haciendo


Para elegimos y como parámetro



Falta

Integrales de línea en elEspacio.

Suponemos que C es una curva suave dada por




Usando la notación vectorial:

Si

También se dan las integrales de línea a lo largo de C con respecto a x, y, y



De modo análogo se puede escribir:



Ejemplo: Calcular donde C es la hélice circular dada por

Luego:


Reemplazando:



Ejemplo 2:










Integrales de línea de camposvectoriales.


Supongamos que es un campo de fuerzas continuas en . Deseamos calcular el trabajo realizado por la fuerza de mover una partícula a lo largo de una curva C
Si el arco es muy pequeño podemos aproximar dicho avance a través de la tangente en ese punto que es el vector unitario tangente en . Entonces el trabajo realizado por F al mover la partícula de es aproximadamenteEl trabajo total realizado para mover la partícula a lo largo de C, será la suma aproximadamente


Luego
Vemos que el W es la integral de línea, con respecto a la longitud de arco, de la componente tangencial de la fuerza.

Si la curva C esta dada por la función vectorial
entonces:
y como


Ejemplo: Hallar el W realizado por el campo de fuerza al mover una partícula a lo largo(del cuadrante) de la circunferencia situada en el I cuadrante de R=1




A pesar de que es una integral de línea a lo largo de C, al invertir el camino o orientación esto se debe a que el vector unitario tangente se sustituye por su opuesto cuando se invierte la orientación de C.

Ejemplo: Evalúe donde y C es el cubo torcido dado por:



Finalmente se observa la relaciónentre las integrales de línea de campos vectoriales e integrales de línea de campos escalares.

Si F es un campo vectorial sobre y esta dado por que actúa a lo largo de C.


“Teorema fundamental del calculo”

El teorema fundamental del cálculo para integrales simples dice:


donde F’ es continua en

Si consideramos a (vector gradiente) de una función de f, comouna especie de derivada de f , entonces el teorema siguiente puede considerarse como una versión del teorema fundamental para integrales de línea.
Teorema:

Sea C una curva suave dada por la función vectorial . Sea f una función diferenciable de dos o tres variables cuyo vector gradiente es continuo en C. Entonces



Dice que podemos calcular la integral de un campo vectorial...