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Funciones o transformaciones lineales

Una función lineal, transformación lineal es una aplicación entre dos espacios vectoriales, que preserva las operaciones de suma de vectores y productopor un escalar.

Se denomina función lineal o transformación lineal a toda aplicación cuyo dominio y codominio sean espacios vectoriales que cumpla la siguiente definición:

Una función fdefinida de V (K) en W (K), espacios vectoriales sobre el mismo cuerpo K, que a cada vector u de V le hace corresponder un único vector f (u) de W, es lineal si:

• Para todo par de vectores deV : f ( u + v ) = f ( u ) + f ( v );

• Para todo escalar t y para todo vector u de V: f (t .u ) = t . f ( u ),(donde t es un escalar

Estas dos condiciones son equivalentes a la únicacondición:

• V: f (α u + β v) = α. f ( u ) + β . f ( v )


Núcleo e Imagen de una función lineal



Sea f una función lineal de V (K) en W (K), asociados a ella existen dos subespacios, uno incluido en el dominio de f denominado Núcleo (N) (o Ker) de la función, y otro incluido en el codominio de f, que recibe el nombre de Imagen (Im) de la función.

N ( f ) = { u ∈ V : f(u) =0∈ W } son todos los vectores de V que tienen como imagen al vector nulo de W

Im (f) = { v ∈ W : ( ∃u ∈ V ) : f(u) = v } son todos los vectores de W que son imagen de algún vector u de V.Propiedades de una función lineal:

Si f es una función lineal de V (K) en W (K) entonces:

1. f (0 ) = 0 ( 0 ∈ V , 0 ∈ W )

2. f ( - u ) = - f ( u ) ( para cualquier u de V)

3. f (u – v ) = f ( u ) – f ( v ) ( cualesquiera sean u y v de V )


Teorema fundamental de las transformaciones lineales

Sea B = {v1,v2,v3,...vn} base de V y C = {w1, w2, w3,...wn} un conjuntode n vectores de W no necesariamente distintos, entonces existe una única transformación lineal T: V → W que satisface: [pic]


Isomorfismo entre un espacio vectorial

Cuando...