uilo
Páginas: 33 (8104 palabras)
Publicado: 30 de octubre de 2013
Álgebra Lineal
Es una de las ramas de las matemáticas que estudia conceptos tales como vectores, matrices, sistemas de ecuaciones lineales y en un enfoque más formal, espacios vectoriales y sus transformaciones lineales. Es un área activa que tiene conexiones con muchas áreas dentro y fuera de las matemáticas como análisis funcional, ecuaciones diferenciales, investigación de operaciones,gráficas por computadora, ingeniería, etc.
Para ilustrar los conceptos básicos estudiados en el álgebra lineal suele tomarse como ejemplo el espacio vectorial \mathbb{R}^{n} (conocido también como espacio vectorial real de dimensión n, es decir, un espacio formado por vectores de n componentes) por ser el más simple y a la vez el más usado en aplicaciones de uso.
Los objetos básicos deestudio son las n-tuplas ordenadas de números reales (x_1, x_2,\ldots, x_n) que se denominan vectores y el conjunto de todos los vectores con n elementos forma un espacio vectorial \mathbb{R}^{n}.
Así, por ejemplo, el vector (4.5, 7/11, -8) es un vector del espacio \mathbb{R}^3 y (6, -1, 0, 2, 4) es un elemento de \mathbb{R}^5. En particular, \mathbb{R}^2 corresponde a un plano cartesianoXY y\mathbb{R}^3 es el espacio euclidiano provisto de un sistema de coordenadas XYZ.
Las operaciones básicas entre los vectores (en lo que concierne al álgebra lineal) son dos: la suma de vectores y el producto por escalar.
El producto por un escalar en \mathbb{R}^{n} sigue la regla:
R \cdot (x_1, x_2,\ldots, x_n)=(rx_1, rx_2,\ldots, rx_n).
La interpretación gráfica del producto por escalares una contracción o dilatación del vector (dependiendo de la magnitud del escalar, es decir, si \ r es mayor o menor de 1), junto con una posible inversión de su sentido (si el signo es negativo, es decir, si \ r es mayor o menor de 0).
Las funciones \ T de interés para el álgebra lineal, entre los espacios vectoriales descritos, son aquellas que satisfacen las dos condiciones siguientes conlaoperaciones básicas para todo par de vectores \mathbf{u,v} y todo escalar \ r:
T(\mathbf{u+v})=T(\mathbf{u}) + T(\mathbf{v}),\qquad T(r\cdot \mathbf{u})=r\cdot T(\mathbf{u}).
Las funciones que cumplen las condiciones anteriores se denominan transformaciones lineales y en el ejemplo que estamos usando corresponden a vectores de números reales, pero puede extenderse a matrices del espacio\mathbb{R}^{n}\times\mathbb{R}^{m} que son las matrices de números reales de tamaño n\times m.
El álgebra lineal estudia entonces las distintas propiedades que poseen estos conceptos y las relaciones entre los mismos. Por ejemplo, estudia cuándo una "ecuación" de la forma Au=v (donde u,v son vectores y A es una matriz) tiene solución, problema que es equivalente a determinar si un sistema deecuaciones lineales tiene solución o no.
Dentro de los espacios vectoriales de dimensión finita, son de amplio uso los tres tipos siguientes de espacios vectoriales:
Vectores en Rn
Este espacio vectorial está formado por el conjunto de vectores de n dimensión (es decir con n número de componentes). Podemos encontrar un ejemplo de ellos en los vectores R2 , que son famosos por representarlas coordenadas cartesianas: (2,3), (3,4),...
Matrices m \times n
Artículo principal: Matriz (matemática).
Es un arreglo rectangular de números, símbolos o expresiones, cuyas dimensiones son descritas en las cantidades de filas (usualmente m) por las de columnas (n) que poseen. Los arreglos matriciales son particularmente estudiados por el álgebra lineal y son bastantes usados en lasciencias e ingeniería.
Espacio vectorial de polinomios en una misma variable
Un ejemplo espacio vectorial está dado por todos los polinomios cuyo grado es menor o igual a 2 con coeficientes reales sobre una variable x.
Ejemplos de tales polinomios son:
4x^2-5x+1,\quad \frac{2x^2}{7}-3,\quad 8x+4,\quad 5
La suma de dos polinomios cuyo grado no excede a 2 es otro polinomio cuyo grado no...
Es una de las ramas de las matemáticas que estudia conceptos tales como vectores, matrices, sistemas de ecuaciones lineales y en un enfoque más formal, espacios vectoriales y sus transformaciones lineales. Es un área activa que tiene conexiones con muchas áreas dentro y fuera de las matemáticas como análisis funcional, ecuaciones diferenciales, investigación de operaciones,gráficas por computadora, ingeniería, etc.
Para ilustrar los conceptos básicos estudiados en el álgebra lineal suele tomarse como ejemplo el espacio vectorial \mathbb{R}^{n} (conocido también como espacio vectorial real de dimensión n, es decir, un espacio formado por vectores de n componentes) por ser el más simple y a la vez el más usado en aplicaciones de uso.
Los objetos básicos deestudio son las n-tuplas ordenadas de números reales (x_1, x_2,\ldots, x_n) que se denominan vectores y el conjunto de todos los vectores con n elementos forma un espacio vectorial \mathbb{R}^{n}.
Así, por ejemplo, el vector (4.5, 7/11, -8) es un vector del espacio \mathbb{R}^3 y (6, -1, 0, 2, 4) es un elemento de \mathbb{R}^5. En particular, \mathbb{R}^2 corresponde a un plano cartesianoXY y\mathbb{R}^3 es el espacio euclidiano provisto de un sistema de coordenadas XYZ.
Las operaciones básicas entre los vectores (en lo que concierne al álgebra lineal) son dos: la suma de vectores y el producto por escalar.
El producto por un escalar en \mathbb{R}^{n} sigue la regla:
R \cdot (x_1, x_2,\ldots, x_n)=(rx_1, rx_2,\ldots, rx_n).
La interpretación gráfica del producto por escalares una contracción o dilatación del vector (dependiendo de la magnitud del escalar, es decir, si \ r es mayor o menor de 1), junto con una posible inversión de su sentido (si el signo es negativo, es decir, si \ r es mayor o menor de 0).
Las funciones \ T de interés para el álgebra lineal, entre los espacios vectoriales descritos, son aquellas que satisfacen las dos condiciones siguientes conlaoperaciones básicas para todo par de vectores \mathbf{u,v} y todo escalar \ r:
T(\mathbf{u+v})=T(\mathbf{u}) + T(\mathbf{v}),\qquad T(r\cdot \mathbf{u})=r\cdot T(\mathbf{u}).
Las funciones que cumplen las condiciones anteriores se denominan transformaciones lineales y en el ejemplo que estamos usando corresponden a vectores de números reales, pero puede extenderse a matrices del espacio\mathbb{R}^{n}\times\mathbb{R}^{m} que son las matrices de números reales de tamaño n\times m.
El álgebra lineal estudia entonces las distintas propiedades que poseen estos conceptos y las relaciones entre los mismos. Por ejemplo, estudia cuándo una "ecuación" de la forma Au=v (donde u,v son vectores y A es una matriz) tiene solución, problema que es equivalente a determinar si un sistema deecuaciones lineales tiene solución o no.
Dentro de los espacios vectoriales de dimensión finita, son de amplio uso los tres tipos siguientes de espacios vectoriales:
Vectores en Rn
Este espacio vectorial está formado por el conjunto de vectores de n dimensión (es decir con n número de componentes). Podemos encontrar un ejemplo de ellos en los vectores R2 , que son famosos por representarlas coordenadas cartesianas: (2,3), (3,4),...
Matrices m \times n
Artículo principal: Matriz (matemática).
Es un arreglo rectangular de números, símbolos o expresiones, cuyas dimensiones son descritas en las cantidades de filas (usualmente m) por las de columnas (n) que poseen. Los arreglos matriciales son particularmente estudiados por el álgebra lineal y son bastantes usados en lasciencias e ingeniería.
Espacio vectorial de polinomios en una misma variable
Un ejemplo espacio vectorial está dado por todos los polinomios cuyo grado es menor o igual a 2 con coeficientes reales sobre una variable x.
Ejemplos de tales polinomios son:
4x^2-5x+1,\quad \frac{2x^2}{7}-3,\quad 8x+4,\quad 5
La suma de dos polinomios cuyo grado no excede a 2 es otro polinomio cuyo grado no...
Leer documento completo
Regístrate para leer el documento completo.