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EJERCICIOS DEL TEMA VECTORES
1) Considera el vector w , siguiente:

w
Dibuja, en cada caso uno de los siguientes casos, un vector v , que sumado con u dé como
resultado w :
a)

b)

c)

u

u

d)

u

u

2) A la vista de la figura, dibuja un representante de los vectores:

r
r
r
r
r r
r
x = −u + v , y = u − v , z = u + v , t = −u − v , h = −u + 2 ⋅ v , w = u − 2 ⋅ vu

{ }

v

Si tomamos como base B = u , v , ¿cuáles son las coordenadas de los vectores que has
dibujado?
3) Dados los vectores a (3, − 2 ) , b(− 1, 2 ) , y c(0, − 5) , calcula m y n de modo que c = m ⋅ a + n ⋅ b

r1
2




4) Expresa x (5, − 2 ) como combinación lineal de y (1, − 2 ) y z  , 2 

r

r

5) ¿Cuáles son las coordenadas del vector a (6 , − 15) en la base B ={u (1, − 2) , v (1, − 3)}?

r

r

6) Dados los vectores del dibujo:

r
a

r
j

r
d

r
c

r
b
r
i
r r r

{

r

r r

}

a) ¿Cuáles son las coordenadas de a , b , c y d en la base ortonormal i , j ?

r

r r

r r

r r

r r

b) Efectúa gráficamente: a + c , b + c , b + a , a + b + c .

{

r r

}

c) ¿Cuáles son las coordenadas de los vectores delapartado anterior en la base i , j ?

1

r

7) Sean los vectores a (− 2, 3) , b  − 5,



{

}

r r
1 r
 , c (4, 3) y d (5, − 1) en la base ortonormal B = i , j .
2

Halla las coordenadas de los vectores siguientes con respecto a dicha base B:

r
x = 6a − b − 5c
r r
8) Sea B = i , j
r
d = −i − 3 j

{

r
y = 7a + 2b + d

}

r
t = 3c − 4a

r
z = d − c + 2ar

r

r

una base ortonormal. Sabiendo que a = −2i + j , b = 2i − 3 j , c = i + j ,

a) ¿Cuáles son las coordenadas de cada vector en B?
b) Calcula las coordenadas de los siguientes vectores en B:

r
r r
x = a + 2b

r
r
r
z = −3 b + 4 c

r
r r
y = 5a − c

9) Halla las coordenadas del vector b tal que c = 3 ⋅ a −

r
r r
w = c − 2d

1
⋅ b , siendo a(− 1, 3) y c(7, -2 ) .
2

10) ¿Cuáles de las siguientes parejas de vectores son l.i. y cuáles l.d.?

r
r
a (1, 2) y b (6, − 3)

r
r
c (− 3, 2) y d (15, − 10 )

r
r
e (7, 2) y f (1, 5)

r
r
g (− 3, 1) y h (− 4, − 12 )

11) Explica si los siguientes vectores forman una base del plano
a) (1,2) (3,4)

b) (2,3) (4,5) (1,0)

c) (1,2) (2,4)

d) (0,0) (2,5)

En caso afirmativo expresar elvector x (-1,2) como combinación lineal de los vectores de dicha
base.
12) Escribe los vectores u (6 , 0 ) , v (− 12 , − 2 ) y w (18 , - 2 ) , como combinación lineal de los de la

r

r

r

base B = {x (− 2 , 3 ), y (8 , − 5)} .

r

r

r

13) Calcula k para que el producto escalar de a (3, − 5) y b (k , 2 ) sea 7.

r

14) Calcular m para que los vectores x (1, − 3) e y (m , −4)
a) Sean ortogonales.
b) Tengan − 7 como producto escalar.
15) Dado el vector u (− 5, k ) , calcula k para que:

r

a) u ⊥ v , siendo v (4, − 2 )

r

r

r

r

b) El módulo de u sea

16) Halla el ángulo que forman los siguientes pares de vectores:
a) u (3, 2 ) y v(1, − 5)

b) x(4, 6 ) y z (3, 2 ) .

2

34 .

17) Dado el vector u (6, − 8) , determina:
a) Los vectoresunitarios de la misma dirección que u .
b) Los vectores ortogonales a u , que tengan el mismo módulo que u .
c) Los vectores unitarios ortogonales a u .
18) Calcular un vector ortonormal al v (1, − 2 ) .

r

19) Dado el vector u (4 , − 3) , calcula:

r

a) Un vector ortonormal a él.
b) Un vector paralelo a u del mismo sentido y módulo 2.
c) Un vector paralelo a u de sentido contrario ymódulo 2.
20) Considera los vectores x (a , 3) e y (− 1, b ) . Halla los valores de a y b para que x e y sean

r

r

r

perpendiculares y x = 5
21) Dados x (5 , 4 ) , y (3 , 2 ) y z (1, k )

r

r

r

r

r

a) Halla el valor de k para que x y z formen un ángulo de 90º.

r

b) Halla el vector unitario con la misma dirección y el mismo sentido que x
c) Halla el vector...