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´ Universidad Tecnica Federico Santa Mar´ ıa ´ Departamento de Matematica Notas mat – 024 Ecuaciones Diferenciales Parciales
Juan Carlos Chavarr´ Morales ıa Primer Semestre 2009

1.

Caracter´ ısticas para Ecuaciones Cuasi–lineales y Lineales de Segundo Orden

Comenzaremos con el caso general de una ecuaci´n de segundo orden cuasi–lineal de segundo orden para una o funci´n u = u(x, y).Luego, nos restringiremos al caso lineal. El problema es: o (1) auxx + 2buxy + cuyy = d,

donde a, b, c, d son funciones que dependen de x, y, u, ux , uy . Nuestro problema consiste en encontrar una soluci´n o u de (1) con valores prescritos de u, ux , uy sobre una curva γ del plano xy. As´ si γ est´ parametrizada por ı, a (2) se prescriben los datos iniciales sobre γ (3) u = h(s), ux = φ(s), uy =ψ(s). x = f (s), y = g(s),

Los valores de cualquier funci´n v(x, y) de clase C 1 sobre γ y de sus derivadas parciales est´n ligados a la o a parametrizaci´n por la condici´n de compatibilidad, tambi´n llamada condici´n de banda o o e o dv = vx f (s) + vy g (s), ds que se obtiene por la regla de la cadena. Si aplicamos esta condici´n a la soluci´n u del problema de valor inicial o o ´sto implicala identidad e h (s) = φ(s)f (s) + ψ(s)g (s), que relaciona los datos iniciales. La consecuencia de esto es que no m´s de dos de las funciones h, φ, ψ pueden a ser prescritas arbitrariamente. Por ejemplo, podr´ ıamos entregar los valores sobre γ de u y su derivada normal : u = h(s), −ux g + uy f f
2

+g2

= χ(s).

Las condiciones de compatibilidad tambi´n valen para las derivadas parcialesde orden superior sobre γ. As´ e ı, tomando v = ux o v = uy encontramos que dux = uxx f (s) + uxy g (s), ds duy = uxy f (s) + uyy g (s). ds

Con lo ultimo, si tenemos una soluci´n del problema (1), (3) tenemos el conjunto de tres ecuaciones lineales ´ o (4a) (4b) (4c) auxx + 2buxy + cuyy = d f uxx + g uxy =φ

f uxy + g uyy = ψ

2

para los valores de uxx , uxy , uyy sobre γ, concoeficientes que son funciones conocidas de s. Esto determina a uxx , uxy , uyy de forma unica a menos que ´ f (5) ∆= 0 a g f 2b 0 g = ag 2 − 2bf g + cf c
2

= 0.

Llamaremos a la curva “inicial”γ caracter´ ıstica (con respecto a la ecuaci´n diferencial y datos), si ∆ = 0 sobre o γ y no caracter´ ıstica en caso contrario, es decir cuando ∆ = 0 sobre γ. En el caso de una curva caracter´ ıstica inicial γ,las ecuaciones (4) son inconsistentes, a menos que identidades adicionales sean satisfechas por los datos. Luego el problema de valores iniciales con dato inicial prescrito sobre una curva caracter´ ıstica generalmente no posee soluci´n. Si escribimos la condici´n (5) para una curva o o caracter´ ıstica como (6) a dy 2 − 2b dx dy + c dy 2 = 0.

Podemos resolver esta ultima ecuaci´n para dy/dx enla forma ´ o √ dy b ± b2 − ac (7) = . dx a Cuando la curva caracter´ ıstica γ est´ dada impl´ a ıcitamente por la relaci´n φ(x, y) = c, c constante, tenemos que o φx dx + φy dy = 0 sobre γ as´ que (6) se reduce a la ecuaci´n ı o (8) aφ2 + 2φx φy + cφ2 = 0. x y

La relaci´n (7) es una ecuaci´n diferencial ordinaria para γ dados a, b, c como funciones de x, y. Este es el caso o o cuando seconsidera una soluci´n fija u(x, y) de (1) o cuando la ecuaci´n (1) es lineal (lo que nos interesa). Esto o o es a = a(x, y), (9) b d = b(x, y), c = c(x, y),

= −2D(x, y)ux − 2E(x, y)uy − F (x, y)u − G(x, y).

La ecuaci´n (1) es llamada el´ o ıptica si ac − b2 > 0, hiperb´lica si ac − b2 < 0 y parab´lica si ac − b2 = 0. o o Restringi´ndonos al caso de variables reales, observamos que la elecci´n designo en (7) determina dos familias e o de caracter´ ısticas para el caso hiperb´lico, una para el caso parab´lico y ninguna para el caso el´ o o ıptico. Adem´s, a el tipo de la ecuaci´n puede cambiar para diferentes regiones en el plano. o

2.

´ La Ecuacion Lineal de Segundo Orden

Analizamos con m´s detalle la ecuaci´n lineal de segundo orden homog´nea a o e (10) auxx + 2buxy + cutt +...