umetnum

Metodos Numericos I

Método de Newton
Usar el método de Newton para encontrar una aproximación de la raíz positiva más pequeña de la
-6
siguiente ecuación; con x0 = 3.6 , con una tolerancia de 10 ; utilizar 7 decimales.
f (x) = tan(x) - 0.5x
2

f'(x)=sec (x)-0.5
n
0
1
2
3
4
5
6
7
8

Xn
3,6
4,3493698
4,2950545
4,2786767
4,2754441
4,2748919
4,2748004
4,27478534,2747828

f(x)
-1,3065333
0,4579073
0,1078782
0,0199207
0,0033594
0,0005558
0,0000916
0,0000151
0,0000025

f'(xn)
1,7435094
8,4305418
6,5868539
6,1623997
6,0842299
6,0710515
6,0688713
6,0685118
6,0684526

Error
----0,1722939
0,0126460
0,0038278
0,0007561
0,0001292
0,0000214
0,0000035
Raiz 0,0000006

Raíz=4,2747828
Usar el método de Newton para encontrar una aproximaciónde la raíz positiva más pequeña de la
siguiente ecuación; con x0 = 4.0 , con una tolerancia de 10-6 ; utilizar 7 decimales.
f (x) = tan(x) - 0.5x
f'(x)=sec2(x)-0.5
n
0
1
2
3
4
5
6
7

Xn
4
4,2964844
4,2789943
4,2754998
4,2749012
4,2748019
4,2747855
4,2747828

f(x)
-0,8421787
0,1158949
0,0215615
0,0036429
0,0006029
0,0000994
0,0000164
0,0000027
Raíz=4,2747828f'(xn)
2,8405501
6,6263169
6,1701744
6,0855631
6,0712727
6,0689078
6,0685178
6,0684535

Error
----0,0690063
0,0040874
0,0008173
0,0001400
0,0000232
0,0000038
Raiz 0,0000006

Usar el método de Newton para encontrar una aproximación de la raíz de la siguiente ecuación ; con
x0 = π/2 , x0 = 5π y x0 =10 π , con una tolerancia de 10-5 ; utilizar 8 decimales.
𝑓 𝑥 =

1
f'(x)= − (𝑥 −2 𝑠𝑒𝑛 𝑥 )(2 cos 𝑥 − 1)
2

a) x0 = π/2
n
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14

1 1 2
1
+ 𝑥 − 𝑥 𝑠𝑒𝑛𝑥 − cos 2𝑥
2 4
2

Xn
1,57079633
1,78539816
1,84456163
1,87083442
1,88334643
1,88946376
1,89248962
1,89399457
1,89474507
1,89511983
1,89530709
1,89540069
1,89544748
1,89547087
1,89548257

f(x)
0,04605395
0,00711698
0,00163854
0,00039633
0,000097600,00002422
0,00000603
0,00000151
0,00000038
0,00000009
0,00000002
0,00000001
0,00000000
0,00000000
0,00000000

f'(xn)
-0,21460184
-0,12029346
-0,06236657
-0,03167592
-0,01595485
-0,00800593
-0,00401001
-0,00200675
-0,00100381
-0,00050202
-0,00025103
-0,00012552
-0,00006276
-0,00003138
-0,00001569
Raíz=1,89548257

Error
----0,12019831
0,03207454
0,01404335
0,006643500,00323760
0,00159888
0,00079459
0,00039610
0,00019775
0,00009880
0,00004938
0,00002469
0,00001234
Raiz 0,00000617

b)x0=5π
n
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18

Xn
15,70796327
13,08996939
21,34757205
17,47292729
1,64867992
1,79806309
1,84994006
1,87335731
1,88457200
1,89006817
1,89278980
1,89414416
1,89481974
1,89515714
1,895325731,89541001
1,89545214
1,89547320
1,89548374

f(x)
61,68502751
36,54183996
101,47994932
94,43315392
0,02980065
0,00566321
0,00131927
0,00032033
0,00007901
0,00001963
0,00000489
0,00000122
0,00000030
0,00000008
0,00000002
0,00000000
0,00000000
0,00000000
0,00000000

f'(xn)
23,56194490
-4,42523593
26,19077507
5,96762372
-0,19949135
-0,10916625
-0,05633731
-0,02856379-0,01437619
-0,00721115
-0,00361128
-0,00180706
-0,00090388
-0,00045203
-0,00022604
-0,00011302
-0,00005651
-0,00002826
-0,00001413
Raíz=1,89548374

Error
---0,20000000
0,38681695
0,22175132
9,59813190
0,08308005
0,02804251
0,01250015
0,00595079
0,00290792
0,00143789
0,00071502
0,00035654
0,00017803
0,00008895
0,00004446
0,00002223
0,00001111
Raiz 0,00000556

x0=10π
n0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46

Xn
31,41592654
47,12388980
39,26990817
20,63495409
14,08449090
7,32953922
1923,42877599
4157,62004540
2814,56865957
4358,57391199
3114,71128726
1963,61365512
1634,77453529
-2994,37036895
-2462,50958953...