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Vamos ahora a demostrar que el número [pic]no es racional, 
o sea que no existe ninguna fracción de números enteros que de como resultado [pic]
Hay que tener en cuenta que a los números reales no racionales se les llama irracionales, y es el caso de [pic]
DEMOSTRACIÓN
El método que vamos a utilizar para la demostración es el de la reducción al absurdo. Este método consiste en suponer que secumple una hipótesis, hacer operaciones verdaderas con ella y si se llega a un absurdo es que lo que habíamos supuesto era falso.
En este caso la hipótesis es que vamos a suponer que [pic]es racional, o sea que existe una fracción de números enteros [pic]que es igual a [pic]. Dicha fracción la suponemos ya lo más simplificada posible, pues si no lo estaba se simplifica y ya está.
[pic]
Elevamosal cuadrado los dos miembros de la igualdad  [pic]
Multiplicamos por b2 los dos miembros de la igualdad  a2=2.b2
Esta expresión nos dice que a2 es par, ya que resulta de multiplicar 2 por otro número. Y por tanto a es par.
Pero a2 es un cuadrado perfecto, o sea es un número entero al cuadrado, luego si uno de sus factores es el 2, el 2 tiene que estar como mínimo al cuadrado, o sea dos veces.Por tanto como ya hay un 2 en la igualdad delante de b2, el otro 2 tiene que estar en el b2
Eso quiere decir que b2 también tiene que ser par, y por tanto b también es par.
Pero si a es par y b también, la fracción  [pic]no es irreducible, como habíamos supuesto.
Ya hemos llegado al absurdo. Teníamos una fracción irreducible  [pic]cuyo numerador y denominador son pares.
Por tanto lo quehabíamos supuesto era falso: NO EXISTE NINGUNA FRACCIÓN DE NÚMEROS ENTEROS IRREDUCIBLE QUE SEA IGUAL A [pic], o lo que es lo mismo [pic]no es un número racional, es un NÚMERO IRRACIONAL
El número [pic]en forma decimal es [pic]=1,41421356237..., vemos que tiene infinitas cifras decimales no periódicas, no es de ninguno de los tipos que hemos visto antes.------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Definición:
Se dice que un conjunto es infinito contable (o inifito numerable o que la cardinalidad del conjunto es infinita contable), si existe una correspondencia uno a uno entre los elementos del conjunto y los elemento de [pic].
Ejemplos:
El conjunto de los números naturales [pic]={1, 2, 3, ... } es un conjuntoinfinito contable.
El conjunto de todos los enteros pares no negativos { 2, 4, 6, ...}es un conjunto infinito contable, pues existe una correspondencia uno a uno entre los enteros pares no negativos y los números naturales, a saber el entero 2i le corresponde el número natural i, para i = 1, 2, ..., es decir:
[pic]
De manera análoga, el conjunto de todos múltiplos de 7 no negativos {7, 14, 21,... }es infinitos numerable, es decir:
[pic]
Cabe señalar que un conjunto es infinito contable si, comenzando con un cierto elemento podemos listar sucesivamente, uno detrás de otro todos los elementos del conjunto, pues esa lista nos permite construir una correspondencia uno a uno entre los elementos del conjunto y los números naturales [pic].
Ejemplo:
El conjunto de los enteros [pic]= { ...,-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ... }, es un conjunto infinito contable, porque sus elementos pueden ser listados como [pic]= { 0, 1, -1, 2, -2, 3, -3, ...}, ya que se puede hacer una correspondencia uno a uno entre los elementos del conjunto de los enteros [pic]y los números naturales [pic], es decir:
[pic]
La unión de un número finito contable de conjuntos infinitamente contable es un conjunto infinitocontable. Lo mismo sucede con la unión de un número infinito contable de conjuntos infinitos contables.
Ejemplo:
El conjunto de los números racionales [pic]es un conjunto infinito numerable ya que puede ser listado como sigue:
[pic]
Además se puede observar que se pueden hacer una cantidad infinita numerable de sublistas, donde cada una es a la vez un conjunto infinito numerable, y la...