UMSA

Econometría II

Curso 2006/07

Tema 1: Procesos Estocásticos. Caracterización de
los procesos ARIMA

1. Concepto de proceso estocástico
2. Estacionariedad fuerte y débil de los procesos estocásticos.
Teoremas de ergodicidad
3. Procesos estocásticos lineales discretos
4. Plan de trabajo
5. Procesos autorregresivos de
condiciones de estacionariedad

orden

p.

Momentos

y

6.Procesos de media móvil de orden q. Momentos y
condiciones de invertibilidad
7. Procesos mixtos.
invertibilidad

Condiciones

de

estacionariedad

Tema 1

e

1

1.1 Concepto de proceso estocástico
• Serie Temporal: Observaciones periódicas y ordenadas en el
tiempo de valores de una variable.
• Modelos de Series Temporales:
– Deterministas
– Estocásticos Mod. UnivariantesMod. Multivariantes
• Proceso Estocástico: Familia infinita de variables aleatorias
que corresponden a momentos sucesivos en el tiempo (Serie
temporal = realización muestral de un Proceso Estocástico)
• Caracterización:

1. Distribución de probabilidad conjunta
2. Momentos
Tema 1

1

2

Econometría II

Curso 2006/07

Tema 1

3

Distribución de probabilidad conjunta: PMomentos:

{X

t1

, X t 2 ,..., X tT

( )
( j = 1,2,..., T )
Varianza: Var (X ) = E (X − μ ) = γ
Covarianza: Cov (X , X ) = E [(X − μ )(X − μ )] = γ
Cov(X , X )
γ
=
Autocorrelación: ρ (X , X ) =
Var(X ) Var(X )
γ γ
Esperanza:

}

E X t j = μt j

2

tj

tj

tj

ti

tj

tj

tj

tj

−1 ≤ ρ ≤ 1

tj

t jt j

ti

ti

t j ti

ti

t j ti

ti

tj

titj

ti

Para un proceso de tamaño T, habría que estimar T-medias, TT (T − 1)
varianzas, y
autocovarianzas No disponemos de g.l.
2
Suficientes. Hay que imponer restricciones al modelo
Tema 1

2

4

Econometría II

Curso 2006/07

Tema 1: Procesos Estocásticos. Caracterización de
los procesos ARIMA
1. Concepto de proceso estocástico

2. Estacionariedad fuerte y débil de losprocesos
estocásticos. Teoremas de ergodicidad
3. Procesos estocásticos lineales discretos
4. Plan de trabajo
5. Procesos autorregresivos de
condiciones de estacionariedad

orden

p.

Momentos

y

6. Procesos de media móvil de orden q. Momentos y
condiciones de invertibilidad
7. Procesos mixtos.
invertibilidad

Condiciones

de

estacionariedad

Tema 1

e

5

1.2Estacionariedad fuerte y débil de los procesos
estocásticos. Teoremas de ergodicidad

• Fuertemente estacionario: Su distribución de probabilidad es
invariante respecto al tiempo
• Débilmente estacionario: Sus momentos son invariantes
respecto al tiempo (Estacionario en media y en varianza)
• Con esta restricción se reduce el nº de parámetros a estimar:
ahora sólo son 1+1+(T-1) (pero aún sonmuchos)

• Sus momentos pueden estimarse consistentemente a partir de
los correspondientes momentos muestrales.
Condición
lim ρ k = 0
Necesaria:
k →∞

Tema 1

3

6

Econometría II

Curso 2006/07

Tema 1: Procesos Estocásticos. Caracterización de
los procesos ARIMA
1. Concepto de proceso estocástico
2. Estacionariedad fuerte y débil de los procesos estocásticos.
Teoremas deergodicidad

3. Procesos estocásticos lineales discretos
4. Plan de trabajo
5. Procesos autorregresivos de
condiciones de estacionariedad

orden

p.

Momentos

y

6. Procesos de media móvil de orden q. Momentos y
condiciones de invertibilidad
7. Procesos mixtos.
invertibilidad

Condiciones

de

estacionariedad

Tema 1

e

7

1.3 Procesos estocásticos linealesdiscretos
• Los procesos estocásticos, estacionarios y ergódicos son
LINEALES si se pueden representar como combinación lineal
de variables.
• Un proceso estacionario puede ser de la forma

X t = φ 1 X t −1 + φ 2 X t − 2 + φ 3 X t − 3 + ... + ε t

Es necesario que el proceso sea INVERTIBLE (los coeficientes
de los retardos tiendan a cero cuanto más alejados del
presente) y NO ANTICIPANTE...